Жанр: Философия
Наука логики
...известных из других источников, открывать, что
некоторые и именно такие-то стороны математического предмета находятся в
отношении первоначальной и производной функции.
Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше,
функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная
по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из
нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как
не дано само по себе, какую часть или какое определение математического
предмета должно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к
первоначальной функции, найти другую часть или другое определение
[предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод,
сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как
бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально
данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как,
[например], для выпрямления кривой - бесконечно малые абсциссы и ординаты),
принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в
такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также
представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной
математикой, благодаря чему, если /известны упомянутые части, определяется и
та часть, величину которой требуется найти; так, для выпрямления кривой
приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные
выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого
произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще
принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так
называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих
поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от
бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов,
из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление -
это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального
исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального
исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и
производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности
проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для
разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые
подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей
как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого
математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение
первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения,
приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми
линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными
измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь
качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким
образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то
меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма
приращения с плюсом и минусом, и бодрое "developpons" ["развернем в ряд"]
снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения
имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из
анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко
определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что
функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из
архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на
перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет
бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого
другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что
указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой
больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных
в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими
точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого
архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит
изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое
основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование
продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые
каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит
лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все
более узких границах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же
получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из
названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть
первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член
которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной
функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером
стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на
это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения
этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись
характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего
отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого
конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает
определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых
методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении
отношений геометрических предметов, основное определение - это положение о
том, что определенным количеством как определенным количеством таких
определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения,
пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за
неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и
не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто
отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно,
качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно,
в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою
очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как,
например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее
разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на
всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из
него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное
утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи,
и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его
настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и
его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,
которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие
следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции
к так называемой производной функции и тех частей математического целого,
которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы
подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит
предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти
взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не
было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь
единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так
называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и
индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов
исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений
последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как
каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или
особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,
возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов
и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным
исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим
названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или
возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности
дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в
соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в
нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для
того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий
выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате
разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,
ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,
которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес
этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к
ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую
сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими
коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное
выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего
общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого
исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством
которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для
такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого
другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле
не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,
вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не
свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме
ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу
проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не
втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту
часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции
(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,
о чем идет речь.
Примечание 3
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном
смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было
подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как
степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность
отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но
качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более
слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение
бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть
в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,
что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны
прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые
величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного
различия между собой. Но в применении к пространственным предметам
аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной
определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от
прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме
того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе
данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,
значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.
Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на
которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,
чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее
аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты
суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует
вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для
решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,
требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе
определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний
может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе
определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в
обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего
все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть
полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается
честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному
способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того,
как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это
очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен
прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой -
длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность
круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из
которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного
треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму
дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того
определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении. - Если
для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в
дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом
элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии,
никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала
принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как
вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они
были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют
как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в
котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от
последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время
геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д.
Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается
поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и
качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как
сумма малых плоскостей - плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого
обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех
представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по
себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним
средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом
аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле
уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее
основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,
а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для
геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что
арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим
пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование
плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12
линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12
плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных
величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется
сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над
числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны
с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.
Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -
это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,
оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,
но изменение ее как качественного определения пространственности, как
измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне
себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне
себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда
представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение
подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении
(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны
брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне
себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение
единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому
можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что
представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость
различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким
образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы
арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,
следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим
определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея
своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне
количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование
настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на
себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное
определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое
как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной
границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою
истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы
иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
: t2), а другая, временная - арифметически. В чем состоит отличие
рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания,
теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании
качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это
качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в
арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия
относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от
дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина,
к непрерывному осуществляется как суммирование.
Но что мнимое простое суммирование на самом деле содержит в себе
умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению,
это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают,
что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на
половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого
множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины
суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию]
параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять
плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то
плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать
трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате]
плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за
бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности
параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой
прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены
арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не
обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть
указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно,
произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это
последнее определенное количество называется численностью только лишь в
сравнении с представлением о бесконечно многих линиях; оно вообще есть
определенность величины чего-то непрерывного - высоты. Ясно, что то, что
называется суммой, есть также ductus lineae in lineam, умножение линейного
на линейное, согласно вышеуказанному определению - возникновение
плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей аЬ
есть простая величина; но уже в другом, даже элементарном примере трапеции
лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же
определяется через прогрессию; он также есть некоторое линейное, но такое
линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной;
поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, ее аналитический,
т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании; геометрический же
момент здесь - умножение, качественная сторона перехода от линейного
измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь
в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно
последнему есть линейная величина.
Способ, при котором представляют плоскость как сумму линий, применяется,
однако, часто и тогда, когда для достижения результата не производят
умножения, как такового. Так поступают, когда важно указать величину как
определенное количество не в уравнении, а в пропорции. Что площадь круга
относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого
круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая
из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая
ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось к
большой, из чего заключают, что так же относятся между собой и суммы
ординат, т. е. площади.
Те, кто при этом хочет избежать представления о плоскости как сумме
линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего вспомогательного
приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как [здесь]
уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух
линейных элементов площади. Другой элемент площади - ось абсцисс -
принимается в эллипсе и круге за равный, как множитель арифметического
определения величины, следовательно, как равный 1, и поэтому пропорция
оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего
момента. Чтобы представить плоскость, требуются два измерения; но
определение величины, как оно должно быть дано в этой пропорции, касается
только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем, что к
этому одному моменту присоединяют представление суммы, есть, собственно
говоря, непонимание того, что здесь необходимо для математической
определенности.
Данные здесь пояснения служат также критерием упомянутого выше метода
неделимых, предложенного Кавальери; метод этот также оправдан этими
пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти
неделимые суть для Кавальери линии, когда он рассматривает площади или
квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т.
д.; основную линию или основную площадь, принимаемую за определенную, он
называет правилом. Это константа, а по своему отношению к ряду это его
первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей,
следовательно, по отношению к фигуре определяются одинаково. Общее
основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI - позднейшее сочинение
Exerc. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к
другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между
собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в
отдельности". - Для этой цели он сравнивает в фигурах, имею
...Поділитися у соцмережах
