Жанр: Философия
Наука логики
...ленность, а три - единица, или,
наоборот, трижды четыре. - Мы уже указали выше, что сначала находят
произведение простым нумерованием, т. е. счетом на пальцах и т. д.; позднее
становится возможным непосредственно указать произведение благодаря своду
результатов подсчета - таблице умножения и знанию ее наизусть.
Деление есть отрицательное арифметическое действие, согласно тому же
определению различия. Здесь также безразлично, делитель ли или частное
принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за единицу,
а частное - за численность, коща задачей деления объявляется желание узнать,
сколько раз (численность) одно число (единица) содержится в данном числе;
наоборот, делитель принимается за численность, а частное - за единицу, коща
говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность
одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и
численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и потому
вообще не равны. Дальнейшее равенство - это равенство самой единицы и
численности; таким образом, продвижение к равенству определений,
заключающихся в определении числа, завершено. Счет согласно этому полному
равенству есть возведение в степень (отрицательное арифметическое действие
[здесь ] - извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат; это
полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1) прибавляющиеся
многие числа суть одни и те же, и 2) само их множество или численность
тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет
никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы быть некоторым
различием, и не может также иметь место какое-либо дальнейшее выравнивание
различия, заключающегося в числе. Возведение в степени высшие, чем в
квадрат, есть формальное продолжение; с одной стороны, при четных
показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой - при
нечетных показателях - вновь возникает неравенство, а именно при формальном
равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности, и
единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к численности (по
отношению ко второй степени, 3-по отношению к 3х3); еще большее неравенство
имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая,
сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя,
отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное
различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы
выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они
должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее,
основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно
состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой
стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и
как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при
помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают.
- Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе
безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего
уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно
так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную
внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для
полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены
к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению,
изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях;
последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью,
составляющему определение второго арифметического действия, однако они
выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества,
в котором единица и численность суть лишь моменты;
дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также
еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное
количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как
опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.
Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно
сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем,
разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не
имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по
своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком
материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что
моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме
внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым
принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как
существование, есть важное условие философствования о реальных предметах,
необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности
внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их
формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором
выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе,
есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в
рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого
спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в
элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских
понятий]
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или
философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их
соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в
соответствии с ними или выражения ими мыслей. - С педагогической точки
зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего
созерцания, а занятие вычислением его отношений - деятельностью духа, в
которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные
отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу,
видно из его понятия, каким оно получилось выше.
Число предстало перед нами как абсолютная определенность количества, а
его стихия - как различие, ставшее безразличным;. оно оказалось
определенностью в себе, которая в то же время положена лишь совершенно
внешне. Арифметика - аналитическая наука, так как все относящиеся к ее
предмету связи и различия не находятся в нем самом, а навязаны ему
совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы
внутренние отношения, которые первоначально скрыты для знания, не даны в
непосредственном представлении о нем, ;i должны быть выявлены лишь усилиями
познавания. Она нс только не содержит понятия и, следовательно, задачи, для
постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его
противоположность. Из-за безразличия приведенного в связь к самой этой
связи, которой недостает необходимости, мышление занимает здесь
деятельность, которая есть в то же время самое крайнее отчуждение
(Entausserung) от самого себя, занимается насильственной деятельностью, -
оно движется в сфере без-мыслия и приводит в связь то, чтб не способно быть
необходимым. Предметом [здесь ] служит абстрактна" мысль о самой внешности
(Ausserlichkeit).
Будучи такой мыслью о внешности, число есть в то же время абстракция от
чувственного многообразия; от чувственного оно сохранило только абстрактное
определение внешности; благодаря этому в числе чувственное ближе всего
подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.
Возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища
стихию для своего чистого представления для выражения своей сущности, может
поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама мысль, и обретет
для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого
число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы видим в истории
науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет
последнюю ступень несовершенства, когда всеобщее берется как обремененное
чувственным. Древние [мыслители] явно сознавали, что число находится
посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю ("Метафизика", I,
5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними
находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются
тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей - тем, что они суть
нечто .множественное и сходное, между тем как идея лишь всецело тождественна
с собой и внутренне едина. - Более подробное, основательно продуманное
рассуждение об этом Модерата из Кадиса " приводится в Malchi vita Pythagorae
ed. Ritterhus, p. 30 и ел.: то, что пифагорейцам пришла в голову мысль
обратиться к числам, он объясняет тем, что они еще не были в состоянии ясно
постигнуть разумом основные идеи и первые принципы, потому что трудно
мыслить и выразить эти принципы; при преподавании числа хорошо служат для
обозначения; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые,
не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и говорят, что это -
треугольник, требуя, чтобы не принимали за треугольник предлежащий чертеж, а
лишь представляли себе с его помощью мысль о треугольнике. Так, например,
пифагорейцы выразили как единицу (Eins) мысль о единстве, тождественности и
равенстве, а также основание согласия, связи и сохранения всего, основание
тождественного с самим собой и т. д. - Излишне заметить, что пифагорейцы
перешли от выражения в числах и к выражению в мыслях, к определенно
названным категориям равного и неравного, границы и бесконечности; уже
относительно указанного выше выражения в числах сообщается (там же, в
примечаниях к стр. 31 цитированного издания, взятых из "Leben des
Pythagoras" bei Photius, p. 722), что пифагорейцы проводили различие между
монадой и единицей; монаду они принимали за мысль, а единицу - за число; и
точно так же число два они принимали за арифметическое выражение, а диаду
(ибо таково, видимо, то название, которое оно у них носит) - за мысль о
неопределенном. - Эти древние, во-первых, очень ясно видели
неудовлетворительность числовой формы для выражения определении мысли, и
столь же правильно они, далее, требовали найти подлинное выражение для мысли
вместо первого выражения, принятого за неимением лучшего; насколько
опередили они в своих размышлениях тех, кто в наше время снова считает
чем-то похвальным и даже основательным и глубоким замену определений мысли
самими числами и числовыми определениями, как, например, степенями, а затем
- бесконечно большим, бесконечно малым, единицей, деленной на бесконечность,
и прочими подобного рода определениями 87, которые сами часто представляют
собой превратный математический формализм, - считает основательным и
глубоким возвращение к упомянутому беспомощному детству.
Что касается приведенного выше выражения, что число занимает
промежуточное положение между чувственным и мыслью, имея в то же время то
общее с первым, что оно по своей природе (an ihr) "многое", внеположное, то
следует заметить, что само это "многое", принимаемое в мысль чувственное,
есть принадлежащая мысли категория внешнего в самом себе. Дальнейшие,
конкретные, истинные мысли - наиболее живое, наиболее подвижное, понятое
только как находящееся в соотнесении - превращаются в мертвенные,
неподвижные определения, когда их перемещают в эту стихию вовне-себя-бытия.
Чем богаче определенностью и, стало быть, соотношением становятся мысли,
тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой - более произвольным и
лишенным смысла становится их изложение в таких формах, как числа. Единица,
два, три, четыре, генада или монада, диада, триада, тетрактис еще близки к
совершенно простым абстрактным понятиям; но когда числа должны переходить к
[изображению ] конкретных отношений, тогда тщетно стремление сохранить их
еще близкими к понятию.
Когда же для [характеристики] движения понятия (только благодаря этому
движению оно и есть понятие) обозначают определения мысли через одно, два,
три, четыре, этим предъявляется к мышлению самое жестокое требование.
Мышление движется тоща в стихии своей противоположности, отсутствия
соотношений. Его дело становится тогда работой безумия. Постигнуть,
например, что одно есть три, а три - одно, потому так трудно, что одно
лишено соотношений и, следовательно, не обнаруживает в самом себе того
определения, посредством которого оно переходит в свою противоположность, а,
напротив, состоит именно в полном исключении такого рода соотношения и
отказе от него. Рассудок, наоборот, пользуется этим против спекулятивной
истины (например, против истины учения, называемого учением о триединстве) и
перечисляет те ее определения, которые составляют одно единство, чтобы
представить ее как явную бессмыслицу, т. е. он сам впадает в бессмыслицу,
превращая в лишенное соотношений то, что всецело есть соотношение. Слово
"триединство" (Dreieinigkeit) употребляется, конечно, не в расчете на то,
что рассудок будет рассматривать единицу и число как сущностную
определенность содержания. Это слово выражает собой презрение к рассудку,
который в своем тщеславии, однако, упорно держится единицы и числа, как
такового, и выставляет это тщеславие как оружие против разума.
Принимать числа, геометрические фигуры просто за символы, как это часто
проделывали с кругом, треугольником и т. д. (круг, например, принимался за
символ вечности, треугольник - за символ триединства), есть с одной стороны,
нечто совершенно невинное; но нелепо, с другой стороны предполагать, что
этим выражают нечто большее, чем то, что мысль способна постигнуть и
выразить. Если в таких символах, как и в других, создаваемых фантазией в
народной мифологии и вообще в поэзии, в сравнении с которыми чуждые фантазии
геометрические фигуры к тому же убоги, - если в этих символах - глубокая
мудрость, глубокое значение, то как раз задача одного лишь мышления сделать
явной мудрость, которая в них лишь сокрыта (darin liegt), и не только в
символах, но и в природе и в духе. В символах истина из-за чувственного
элемента еще помутнена и прикрыта; она полностью обнаруживается сознанию
только в форме мысли; [их ] значением служит лишь сама мысль.
Но заимствование математических категорий с целью что-то определить для
метода или содержания философской науки потому оказывается по своему
существу чем-то превратным, что, поскольку математические формулы обозначают
мысли и различия понятия, это их значение скорее должно быть сначала
указано, определено и обосновано в философии. В своих конкретных науках
философия должна почерпать логическое из логики, а не из математики. Для
[выявления] логического в философии обращаться к тем формам (Gestaltungen),
которые это логическое принимает в других науках и из которых одни суть
только предчувствия, а другие даже искажения логического - это может быть
лишь крайним средством, к которому прибегает философское бессилие. Простое
применение таких заимствованных формул есть, кроме того, внешний способ
действия; самому применению должно было бы предшествовать осознание и их
ценности, и их значения; но такое осознание дается лишь рассмотрением с
помощью мысли, а не авторитетом, который эти формулы приобрели в математике.
Сама логика есть такое осознание их, и это осознание сбрасывает их частную
форму, делает ее излишней и никчемной, исправляет ее, и исключительно лишь
оно дает им обоснование, смысл и ценность.
Какое значение имеет пользование числом и счетом, поскольку оно должно
составлять главную педагогическую основу, это из предшествующего само собой
ясно. Число - нечувственный предмет, и занятие им и его сочетаниями -
нечувственное занятие;
дух, следовательно, этим приучается к рефлексии в себя и к внутренней
абстрактной работе, что имеет большое, но все же одностороннее значение.
Ибо, с другой стороны, так как в основе числа лежит лишь внешнее, чуждое
мысли различие, то указанная работа становится безмысленной, механической.
Требуемое ею напряжение состоит главным образом в том, чтобы удержать то,
что чуждо понятия, и комбинировать его, не прибегая к понятию. Содержанием
здесь служит пустое "одно"; подлинное содержание нравственной и духовной
жизни и индивидуальных ее форм, которое, как благороднейшая пища, должно
служить средством воспитания юношеского духа, вытесняется бессодержательным
"одним". Результатом этих упражнений, когда их делают главным делом и
основным занятием, может быть только то, что дух по форме и содержанию
опустошается и притупляется. Так как счет есть столь внешнее, стало быть,
механическое занятие, то, оказалось возможным приобрести машины,
совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия. Если бы о
природе счета было известно хотя бы только одно это обстоятельство, то одним
этим был бы решен вопрос, какова ценность мысли сделать счет главным
средством воспитания духа и этим подвергать его пытке - усовершенствовать
себя до такой степени, чтобы стать машиной.
В. ЭКСТЕНСИВНОЕ И ИНТЕНСИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО (EXTENSIVES UND
INTENSIVES QUANTUM)
а) Различие между ними
1. Определенное количество, как явствует из предыдущего, имеет свою
определенность как границу в численности. Оно есть некое внутри себя
дискретное, некое "многое", не имеющее такого бытия, которое было бы отлично
от его границы и имело бы ее вовне себя. Определенное количество, взятое
таким образом со своей границей, которая есть некое множественное в самой
себе, есть экстенсивная величина.
Следует отличать экстенсивную величину от непрерывной. Первой
непосредственно противоположна не дискретная, а интенсивная величина.
Экстенсивная и интенсивная величины суть определенности самой количественной
границы, определенное же количество тождественно со своей границей.
Непрерывная же и дискретная величины суть определения величины в себе, т. е.
количества, как такового, поскольку, имея дело с определенным количеством,
отвлекаются от границы. - Экстенсивная величина имеет момент непрерывности в
самой себе и в своей границе, так как ее "многое" есть вообще непрерывное;
постольку граница как отрицание выступает в этом равенстве "многих" как
ограничение единства. Непрерывная величина есть продолжающее себя количество
безотносительно к какой бы то ни было границе, и, поскольку ее представляют
себе с такой границей, последняя есть ограничение вообще, а котором
дискретность не положена. Определенное количество, взятое лишь как
непрерывная величина, определено для себя еще не истинно, так как в ней
отсутствуют "одно", в котором заключается для-себя-опре-деленность, и число.
И точно так же дискретная величина есть непосредственно лишь различенное
"многое" вообще, которое, поскольку оно, как таковое, должно было бы иметь
границу, было бы только множеством, т. е. чем-то неопределенно ограниченным;
чтобы оно было определенным квантом, для этого требуется сочетание "многих"
воедино, благодаря чему они полагаются тождественными с границей. Каждой - и
непрерывной, и дискретной - величиной как определенным количеством вообще
положена в ней лишь одна из двух сторон, которыми оно вполне определено и
благодаря которым оно дано как число. Число есть непосредственно
экстенсивное определенное количество, простая определенность, данная по
своему существу как численность, однако численность одной и той же единицы;
определенное количество отлично от числа лишь тем, что определенность в
числе явно положена как множественность.
2. Определить посредством числа, как велико нечто, можно, не устанавливая
отличия его от чего-то другого, обладающего величиной, иначе для
определенности его требовались бы оно само и нечто другое, обладающее
величиной; оно в этом не нуждается потому, что определенность величины есть
вообще для-себя-опре-деленная, безразличная, просто с собой соотнесенная
граница, а в числе она положена как заключенная в для-себя-сущее "одно", и
имеет внешность, соотношение-с-иным, внутри самой себя. Далее, это "присущее
самой границе "многое", как "многое" вообще, не есть нечто неравное внутри
себя, а есть нечто непрерывное. Каждое из "многих" есть то же самое, что
иное; поэтому оно как вне-друг-друга-сущее или дискретное "многое" не
составляет определенности, как таковой. Это "многое", стало быть, сливается
само по себе в свою непрерывность и становится простым единством. -
Численность есть лишь момент числа, но как множество числовых "одних" оно не
составляет определенности числа, а эти "одни" как безразличные, внешние себе
сняты в возвращенное(tm) числа в себя. Внешность, составлявшая "одни" во
множестве, исчезает в "одном" как соотношении числа с самим собой.
Граница определенного количества, которое как экстенсивное имело свою
налично сущую определенность в виде внешней самой себе численности,
переходит, следовательно, в простую определенность. В этом простом
определении границы оно интенсивная величина; и граница, или определенность,
которая тождественна с определенным количеством, теперь так и положена как
простое; это градус (der Grad).
Градус, следовательно, есть определенная величина, определенное
количество, но не есть вместе с тем множество (Menge) или много ["одних"]
внутри самого себя (Mehreres innerhalb seiner selbst); он только некая
многость (Mehrheit), причем многость есть "многое", введенное в простое
определение, наличное бытие, возвратившееся в для-себя-бытие. Его
определенность должна быть, правда, выражена некоторым числом (Zahl) как
полной определенностью определенного количества, но она дана не как
численность (Anzahl), а просто, только как градус. Когда говорят о десяти,
двадцати градусах, именно определенное количество, имеющее столько градусов,
есть десятый, двадцатый градус, а не численность и сумма этих градусов, - в
таком случае оно было бы экстенсивным количеством, - а оно лишь один градус:
десятый, двадцатый градус. Он содержит определенность, заключающуюся в
численности "десять", "двадцать", но не содержит их как "многие", а есть
число как снятая численность, как простая определенность.
3. В числе определенное количество положено в своей полной
определенности; а как интенсивное определенное количество (которое есть
для-себя-бытие числа) определенное количество положено таким, каково оно по
своему понятию, или в себе. А именно, та форма соотношения с собой, которую
оно имеет в градусе, есть в то же время его внешнее-себе-бытие. Число как
экстенсивное определенное количество есть числовая множественность и имеет
таким образом внешность внутри себя; эта последняя, как "многое" вообще,
сливается в неразличимость и снимает себя в числовом "одном" (in dem Eins
der Zahl), в соотношении числа с самим собой. Но определенное количество
имеет свою определенность в виде численности; оно, как было указано выше,
содержит ее, хотя она уже не положена в нем. Таким образом, градус, который,
как простой внутри самого себя, уже не имеет этого внешнего инобытия внутри
себя, имеет его вовне себя и соотносится с ним как со своей определенностью.
Внешняя ему множественность составляет определенность той простой границы,
которая он есть сам по себе. То, что численность, поскольку в экстенсивном
определенном количестве она должна была находиться внутри числа, сняла себя
там, - это определяется, следовательно, так, что она положена вне числа. Так
как число положено как "одно", как рефлектированное в себя соотношение с
самим собой, то оно исключает из себя безразличие и внешний характер
численности и есть соотношение с собой как соотношение через само себя с
чем-то внешним.
В градусе определенное количество имеет соответствующую своему понятию
реальность. Безразличие определенности составляет его качество, т. е.
определенность, которая в самой себе дана как внешняя себе определенность. -
Согласно этому градус есть простая определенность величины среди некоторого
множества таких интенсивностей, которые различны и каждая из которых есть
лишь простое соотношение с самим собой, но которые в то же время находятся в
сущностном соотношении друг с другом, так что каждая имеет свою
определенность в этой непрерывности с другими. Это соотношение градусов
через самих себя со своим иным делает восхождение и нисхождение по шкале
градусов непрерывным процессом, течением, которое есть непрерывающееся,
неделимое изменение. Каждое из многих, различаемых в этом [процессе], не
отделено от других, а имеет
...Поділитися у соцмережах
