Жанр: Учеба
Программирование в теоремах и задачах
... собой текущее состояние
стекового калькулятора, то после нажатия всех клавиш
последовательности в стеке останется единственное
число, и оно будет искомым ответом.
Пусть нам требуется вычислить значение, к примеру, f(100). Тогда
вначале мы помещаем в стек число 100, а последовательность содержит
единственный символ "f". (При этом инвариант соблюдается.)
Далее с последовательностью и стеком выполняются такие преобразования:
старый старая новый новая
стек последовательность стек последовательность
X x P X x P
X x l P X l(x) P
X x r P X r(x) P
X x y z h P X h(x,y,z) P
X 0 f P X a P
X x f P X x x l f x r f h P
Обозначения: x, y, z,.. - числа, X - последовательность чисел, P
- последовательность чисел и символов "f", "l", "r", "h". В последней
строке предполагается, что m не равно 0. Эта строка соответствует
равенству
f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),
Эти преобразования выполняются, пока последовательность не станет
пуста. В этот момент в стеке окажется единственное число,
которое и будет ответом.
Замечание. Последовательность по существу представляет собой
стек отложенных заданий (вершина которого находится слева).
Глава 9. Разные алгоритмы на графах
9.1. Кратчайшие пути
В этом разделе рассматриваются различные варианты одной задач.
Пусть имеется n городов, пронумерованных числами от 1 до n.
Для каждой пары городов с номерами i, j в таблице a[i][j] хранится
целое число - цена прямого авиабилета из города i в город
j. Считается, что рейсы существуют между любыми городами, a[i,i]
= 0 при всех i, a[i][j] может отличаться от a[j,i]. Наименьшей
стоимостью проезда из i в j считается минимально возможная сумма
цен билетов для маршрутов (в том числе с пересадками), ведущих
из i в j. (Она не превосходит a[i][j], но может быть меньше.)
В предлагаемых ниже задачах требуется найти наименьшую стоимость
проезда для некоторых пар городов при тех или иных ограничениях
на массив a и на время работы алгоритма.
9.1.1. Предположим, что не существует замкнутых маршрутов,
для которых сумма цен отрицательна. Доказать, что в этом случае
маршрут с наименьшей стоимостью существует.
Решение. Маршрут длиной больше n всегда содержит цикл, поэтому
минимум можно искать среди маршрутов длиной не более n, а
их конечное число.
Во всех следующих задачах предполагается, что это условие
(отсутствие циклов с отрицательной суммой) выполнено.
9.1.2. Найти наименьшую стоимость проезда из 1-го города во
все остальные за время O(n в степени 3).
Решение. Обозначим через МинСт(1,s,к) наименьшую стоимость
проезда из 1 в s менее чем с k пересадками. Тогда выполняется
такое соотношение:
МинСт (1,s,k+1) = наименьшему из чисел МинСт(1,s,k) и
МинСт(1,i,k) + a[i][s] (i=1..n)
Как отмечалось выше, искомым ответом является МинСт(1,i,n) для
всех i=1..n.
k:= 1;
for i := 1 to n do begin x[i] := a[1][i]; end;
{инвариант: x[i] := МинСт(1,i,k)}
while k "" n do begin
| for s := 1 to n do begin
| | y[s] := x[s];
| | for i := 1 to n do begin
| | | if y[s] " x[i]+a[i][s] then begin
| | | | y[s] := x[i]+a[i][s];
| | | end;
| | end
| | {y[s] = МинСт(1,s,k+1)}
| | for i := 1 to n do begin x[s] := y[s]; end;
| end;
| k := k + 1;
end;
Приведенный алгоритм называют алгоритмом динамического программирования,
или алгоритмом Форда - Беллмана.
9.1.3. Доказать, что программа останется правильной, если
не заводить массива y, а производить изменения в самом массиве x
(заменив в программе все вхождения буквы y на x и затем удалить
ставшие лишними строки).
Решение. Инвариант будет таков:
МинСт(1,i,n) "= x[i] "= МинСт(1,i,k)
Этот алгоритм может быть улучшен в двух отношениях: можно
за то же время O(n в степени 3) найти наименьшую стоимость проезда
i-"j для ВСЕХ пар i,j (а не только с i=1), а можно сократить
время работы до O(n в степени 2). Правда, в последнем случае
нам потребуется, чтобы все цены a[i][j] были неотрицательны.
9.1.4. Найти наименьшую стоимость проезда i-"j для всех i,j
за время O(n в степени 3).
Решение. Для k = 0..n через А(i,j,k) обозначим наименьшую
стоимость маршрута из i в j, если в качестве пересадочных разрешено
использовать только пункты с номерами не больше k. Тогда
A(i,j,0) = a[i][j],
а
A(i,j,k+1) = min (A(i,j,k), A(i,k+1,k)+A(k+1,j,k))
(два варианта соответствуют неиспользованию и использованию
пункта k+1 в качестве пересадочного; отметим, что в нем незачем
бывать более одного раза).
Этот алгоритм называют алгоритмом Флойда.
9.1.5. Известны, что все цены неотрицательны. Найти наименьшую
стоимость проезда 1-"i для всех i=1..n за время O(n в
степени 2).
Решение. В процессе работы алгоритма некоторые города будут
выделенными (в начале - только город 1, в конце - все). При
этом:
для каждого выделенного города i хранится наименьшая стоимость
пути 1-"i; при этом известно, что минимум достигается на
пути, проходящем только через выделенные города;
для каждого невыделенного города i хранится наименьшая стоимость
пути 1-"i, в котором в качестве промежуточных используются
только выделенные города.
Множество выделенных городов расширяется на основании следующего
замечания: если среди всех невыделенных городов взять
тот, для которого хранимое число минимально, то это число является
истинной наименьшей стоимостью. В самом деле, пусть есть
более короткий путь. Рассмотрим первый невыделенный город на
этом пути - уже до него путь длиннее! (Здесь существенна неотрицательность
цен.)
Добавив выбранный город к выделенным, мы должны скорректировать
информацию, хранимую для невыделенных городов. При этом
достаточно учесть лишь пути, в которых новый город является последним
пунктом пересадки, а это легко сделать, так как минимальную
стоимость проезда в новый город мы уже знаем.
При самом бесхитростном способе хранения множества выделенных
городов (в булевском векторе) добавление одного города к
числу выделенных требует времени O(n).
Этот алгоритм называют алгоритмом Дейкстры.
Отыскании кратчайшего пути имеет естественную интерпретацию
в терминах матриц. Пусть A - матрица цен одной аваиакомпании, а
B - матрица цен другой. (Мы считаем, что диагональные элементы
матриц равны 0.) Пусть мы хотим лететь с одной пересадкой, причем
сначала самолетом компании A, а затем - компании B. Сколько
нам придется заплатить, чтобы попасть из города i в город j?
9.1.6. Доказать, что эта матрица вычисляется по обычной
формуле для произведения матриц, только вместо суммы надо брать
минимум, а вместо умножения - сумму.
9.1.7. Доказать, что таким образом определенное произведение
матриц ассоциативно.
9.1.8. Доказать, что задача о кратчайших путях эквивалентна
вычислению "бесконечной степени" матрицы цен A: в последовательности
A, A*A, A*A*A,... все элементы, начиная с некоторого,
равны искомой матрице стоимостей кратчайших путей. (Если нет отрицательных
циклов!)
9.1.9. Начиная с какого элемента можно гарантировать равенство
в предыдущей задаче?
Обычное (не модифицированное) умножение матриц тоже может
оказаться полезным, только матрицы должны быть другие. Пусть
есть не все рейсы (как в следующем разделе), а только некоторые,
a[i,j] равно 1, если рейс есть, и 0, если рейса нет. Возведем
матрицу a (обычным образом) в степень k и посмотрим на ее i-j-ый
элемент.
9.1.10. Чему он равен?
Ответ. Числу различных способов попасть из i в j за k
рейсов.
Случай, когда есть не все рейсы, можно свести к исходному,
введя фиктивные рейсы с бесконечно большой (или достаточно
большой) стоимостью. Тем не менее возникает такой вопрос. Число
реальных рейсов может быть существенно меньше n*n, поэтому интересны
алгоритмы, которые работают эффективно в такой ситуации.
Исходные данные естественно представлять тогда в такой форме:
для каждого города известно число выходящих из него рейсов, их
пункты назначения и цены.
9.1.11. Доказать, что алгоритм Дейкстры можно модифицировать
так, чтобы для n городов и k маршрутов он требовал не более
C*(n+k log n) операций.
Указание. Что надо сделать на каждом шаге? Выбрать невыделенный
город с минимальной стоимостью и скорректировать цены для
всех городов, в которые из него есть маршруты. Если бы кто-то
сообщал нам, для какого города стоимость минимальна, то хватило
бы C*(n+k) действий. А поддержание сведений о том, какой элемент
в массиве минимален (см. задачу 6.4.1 в главе о типах данных)
обходится еще в множитель log n.
9.2. Связные компоненты, поиск в глубину и ширину
Наиболее простой случай задачи о кратчайших путях - если
все цены равны 0 или бесконечны. Другими словами, мы интересуемся
возможностью попасть из i в j, но за ценой не постоим (и она
нас не интересует). В других терминах: мы имеем ориентированный
граф (картинку из точек, некоторые из которых соединены стрелками)
и нас интересуют вершины, доступные из данной.
Для этого случая задачи о кратчайших путях приведенные в
предыдущем разделе алгоритмы - не наилучшие. В самом деле, более
быстрая рекурсивная программа решения этой задачи приведена в
главе 7 (Рекурсия), а нерекурсивная - в главе 6 (Типы данных).
Сейчас нас интересует такая задача: не просто перечислить все
вершины, доступные из данной, но перечислить их в определенном
порядке. Два популярных случая - поиск в ширину и в глубину.
Поиск в ширину: надо перечислить все вершины ориентированного
графа, доступные из данной, в порядке увеличения длины пути
от нее. (Тем самым мы решим задачу о кратчайших путях, кода цены
ребер равны 1 или бесконечны.)
9.2.1. Придумать алгоритм решения этой задачи с числом
действий не более C*(число ребер, выходящих из интересующих нас
вершин).
Решение. Эта задача рассматривалась в главе 6 (Типы данных),
6.3.7 - 6.3.8. Здесь мы приведём подробное решение. Пусть
num[i] - количество ребер, выходящих из i, out[i][1],...,
out[i][num[i]] - вершины, куда ведут ребра. Вот программа, приведённая
ранее:
procedure Доступные (i: integer);
| {напечатать все вершины, доступные из i, включая i}
| var X: подмножество 1..n;
| P: подмножество 1..n;
| q, v, w: 1..n;
| k: integer;
begin
| ...сделать X, P пустыми;
| writeln (i);
| ...добавить i к X, P;
| {(1) P = множество напечатанных вершин; P содержит i;
| (2) напечатаны только доступные из i вершины;
| (3) X - подмножество P;
| (4) все напечатанные вершины, из которых выходит
| ребро в ненапечатанную вершину, принадлежат X}
| while X непусто do begin
| | ...взять какой-нибудь элемент X в v;
| | for k := 1 to num [v] do begin
| | | w := out [v][k];
| | | if w не принадлежит P then begin
| | | | writeln (w);
| | | | добавить w в P;
| | | | добавить w в X
| | | end;
| | end;
| end;
end;
Тогда нам было безразлично, какой именно элемент множества X выбирается.
Если мы будем считать X очередью (первым пришел - пермым
ушел), то эта программа напечатает все вершины, доступные из
i, в порядке возрастания их расстояния от i (числа ребер на
кратчайшем пути из i). Докажем это.
Обозначим через V(k) множество всех вершин, расстояние которых
от i (в описанном смысле) равно k. Имеет место такое соотношение:
V(k+1) = (концы ребер с началами в V(k))-V(0)-V(1)-...-V(k)
(знак "-" обозначает вычитание множеств). Докажем, что для любого
k=0,1,2... в ходе работы программы будет такой момент (после
очередной итерации цикла while), когда
в очереди стоят все элементы V(k) и только они
напечатаны все элементы V(1),...,V(k)
(Для k=0 - это состояние перед циклом.) Рассуждая по индукции,
предположим, что в очереди скопились все элементы V(k). Они будут
просматривать в цикле, пока не кончатся (поскольку новые
элементы добавляются в конец, они не перемешаются со старыми).
Концы ведущих из них ребер, если они уже не напечатаны, печатаются
и ставятся в очередь - то есть всё как в записанном выше
соотношении для V(k+1). Так что когда все старые элементы кончатся,
в очереди будут стоять все элементы V(k+1).
Поиск в глубину.
Рассматривая поиск в глубину, удобно представлять себе ориетированный
граф как образ дерева. Более точно, пусть есть ориентированный
граф, одна из вершин которого выделена. Будем полагать,
что все вершины доступны из выделенной по ориентированным
путям. Построим дерево, которое можно было бы назвать "универсальным
накрытием" нашего графа. Его корнем будет выделенная
вершина графа. Из корня выходят те же стрелки, что и в графе -
их концы будут сыновьями корня. Из них в дереве выходят те же
стрелки, что и в графе и так далее. Разница между графом и деревом
в том, что пути в графе, ведущие в одну и ту же вершину, в
дереве "расклеены". В других терминах: вершина дерева - это путь
в графе, выходящий из корня. Ее сыновья - это пути, продолженные
на одно ребро. Заметим, что дерево бесконечно, если в графе есть
ориентированные циклы.
Имеется естетвенное отображение дерева в граф (вершин в
вершины). При этом каждая вершина графа имеет столько прообразов,
сколько путей в нее ведет. Поэтому обход дерева (посещение
его вершин в том или ином порядке) одновременно является и обходом
графа - только каждая вершина посещается многократно.
Будем предполагать, что для каждой вершины графа выходящие
из нее ребра упорядочены (напрмиер, пронумерованы). Тем самым
для каждой вершины дерева выходящие из нее ребра также упорядочены.
Будем обходить дерево так: сначала корень, а потом поддеревья
(в порядке ведущих в них ребер). Такой обход дерева
рассматривался нами в главе о рекурсии. Ему соответствует обход
графа. Если выкинуть из этого обхода повторные посещения уже посещенных
вершин, то получится то, что называется "поиск в глубину".
Другими словами: на путях, выходящих из выделенной вершины,
введем порядок: путь предшествует своему продолжению; если два
пути расходятся в некоторой вершине, то меньшим считается тот,
который выходит из нее по меньшему ребру. Вершины теперь упорядочиваются
в соответствии с минимальными путями, в них ведущими.
Обход вершин графа ы указанном порядке называется поиском в глубину.
9.2.2. Написать программу поиска в глубину.
Указание. Возьмем программу обхода дерева (корень - левое
поддерево - правое поддерево) из главы о рекурсии или из гравы
об устранении рекурсии и используем ее применительно к обстоятельствам.
Главное изменение: не надо посещать вершины повторно.
Так что если мы попали в уже посещенную вершину, то можно с
ней ничего не делать. (Если путь не минимален среди ведущих в
данную вершину, то и все его продолжения не минимальны - их
просматривать не надо).
Замечание. Существуют две возможности устранения рекурсии в
программе обхода дерева. Можно хранить в стеке корни подлежащих
посещению поддеревьев (как это делалось в главе об устранении
рекурсии). А можно применять метод из главы об обходе дерева, то
есть реализовать операции "вверх_налево", "вправо" и "вниз".
Чтобы их реализовать, необходимо хранить в стеке путь из корня к
текущей вершине. Оба способа - примерно одинаковой сложности, и
в конкретной ситуации любой из них может оказаться более удобным.
Поиск в глубину лежит в основе многих алгоритмов на графах,
порой в несколько модифицированном виде.
9.2.3. Неориентированный граф называется двудольным, если
его можно раскрасить в два цвета так, что концы любого ребра -
разного цвета. Составить алгоритм проверки, является ли заданный
граф двудольным (число действий не провосходит C*(число ребер +
число вершин).
Указание. (а) Каждую связную компоненту можно раскрашивать
отдельно. (б) Выбрав цвет одной вершины и обходя ее связную компоненту,
мы определяем единственно возможный цвет остальных.
Замечание. В этой задаче безразлично, производить поиск в
ширину или в глубину.
9.2.4. Составить нерекурсивный алгоритм топологической сортировки
ориентированного графа без циклов. (См. задачу 7.4.2 в
главе о рекурсии.)
Решение. Предположим, что граф имеет вершины с номерами
1..n, для каждой вершины i известно число num[i] выходящих из
нее ребер и номера вершин dest[i][1],..., dest[i][num[i]], в которые
эти ребра ведут. Будем условно считать, что ребра перечислены
"слева направо": левее то ребро, у которого номер меньше.
Нам надо напечатать все вершины в таком порядке, чтобы конец любого
ребра был напечатан перед его началом. Мы предполагаем, что
в графе нет ориентированных циклов - иначе такое невозможно.
Для начала добавим к графу вершину 0, из которой ребра ведут
в вершины 1,...,n. Если ее удастся напечатать с соблюдением
правил, то тем самым все вершины будут напечатаны.
Алгоритм хранит путь, выходящий из нулевой вершины и идущий
по ребрам графа. Переменная l отводится для длины этого пути.
Путь образован вершинами vert[1],..., vert[l] и ребрами,
имеющими номера edge[1]...edge[l]. Номер edge[s] относится к нумерации
ребер, выходящих из вершины vert[s]. Тем самым для всех
s должны выполняться неравенство
edge[s] "= num[vert[s]]
и равенство
vert[s+1] = dest [vert[s]] [edge[s]]
Впрочем, для последнего ребра мы сделаем исключение, разрешив
ему указывать "в пустоту", т.е. разрешим
edge[l] равняться num[vert[l]]+1.
В процессе работы алгоритм будет печатать номера вершин,
при этом соблюдая требование "вершина напечатана только после
тех вершин, в которые из нее ведут ребра". Наконец, будет выполняться
такое требование:
(И) вершины пути, кроме последней (т.е. vert[1]..vert[l])
не напечатаны, но свернув с пути налево, мы немедленно
упираемся в напечатанную вершину
Вот что получается:
l:=1; vert[1]:=0; edge[1]:=1;
while not( (l=1) and (edge[1]=n+1)) do begin
| if edge[l]=num[vert[l]]+1 then begin
| | {путь кончается в пустоте, поэтому все вершины,
| | следующие за vert[l], напечатаны - можно
| | печатать vert[l]}
| | writeln (vert[l]);
| | l:=l-1; edge[l]:=egde[l]+1;
| end else begin
| | {edge[l] "= num[vert[l]], путь кончается в
| | вершине}
| | lastvert:= dest[vert[l]][edge[l]]; {последняя}
| | if lastvert напечатана then begin
| | | edge[l]:=edge[l]+1;
| | end else begin
| | | l:=l+1; vert[l]:=lastvert; edge[l]:=1;
| | end;
| end;
end;
{путь сразу же ведет в пустоту, поэтому все вершины
левее, то есть 1..n, напечатаны}
9.2.4. Доказать, что если в графе нет циклов, то этот алгоритм
заканчивает работу.
Решение. Пусть это не так. Каждая вершина может печататься
только один раз, тако что с некоторого момента вершины не печатаются.
В графе без циклов длина пути ограничена (вершина не может
входить дважды), поэтому подождав еще, мы можем дождаться
момента, после которого путь не удлиняется. После этого может
разве что увеличиваться edge[l] - но и это не беспредельно.
10.1. Простейший пример.
10.1.1. Имеется последовательность символов x[1]..x[n]. Определить,
имеются ли в ней идущие друг за другом символы "abcd".
(Другими словами, требуется выяснить, есть ли в слове x[1]..x[n]
подслово "abcd".)
Решение. Имеется примерно n (если быть точным, n-3) позиций,
на которых может находиться искомое подслово в исходном слове.
Для каждой из позиций можно проверить, действительно ли там оно
находится, сравнив четыре символа. Однако есть более эффективный
способ. Читая слово x[1]..x[n] слева направо, мы ожидаем появления
буквы 'a'. Как только она появилась, мы ждем за ней букву
'b', затем 'c', и, наконец, 'd'. Если наши ожидания оправдываются,
то слово "abcd" обнаружено. Если же какая-то из нужных букв
не появляется, мы оказываемся у разбитого корыта и начинаем все
сначала.
Этот простой алгоритм можно описать в разных терминах. Используя
терминологию так называемых конечных автоматов, можно
сказать, что при чтении слова x слева направо мы в каждый момент
находимся в одном из следующих состояний: "начальное" (0),
"сразу после a" (1), "сразу после ab" (2), "сразу после abc" (3)
и "сразу после abcd" (4). Читая очередную букву, мы переходим в
следующее состояние по правилу
Текущее Очередная Новое
состояние буква состояние
0 a 1
0 кроме a 0
1 b 2
1 a 1
1 кроме a,b 0
2 c 3
2 a 1
2 кроме a,c 0
3 d 4
3 a 1
3 кроме a,d 0
Как только мы попадем в состояние 4, работа заканчивается.
Соответствующая программа очевидна:
i:=1; state:=0;
{i - первая непрочитанная буква, state - состояние}
while (i"" n+1) and (state "" 4) do begin
if state = 0 then begin
if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 1 then begin
if x[i] = b then begin
state:= 2;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 2 then begin
if x[i] = c then begin
state:= 3;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end else if state = 3 then begin
if x[i] = d then begin
state:= 4;
end else if x[i] = a then begin
state:= 1;
end else begin
state:= 0;
end;
end;
end;
answer := (state = 4);
Иными словами, мы в каждый момент храним информацию о том,
какое максимальное начало нашего образца "abcd" является концом
прочитанной части. (Его длина и есть то "состояние", о котором
шла речь.)
Терминология, нами используемая, такова. Слово - это любая
последовательность символов из некоторого фиксированного конечного
множества. Это множество называется алфавитом, его элементы
- буквами. Если отбросить несколько букв с конца слова, останется
другое слово, называемое началом первого. Любое слово также
считается своим началом. Конец слова - то, что останется, если
отбросить несколько первых букв. Любое слово считается своим
концом. Подслово - то, что останется, если отбросить буквы и с
начала, и с конца. (Другими словами, подслова - это концы начал,
или, что то же, начала концов.)
В терминах индуктивных функций (см. раздел 1.3) ситуацию
можно описать так: рассмотрим функцию на словах, которая принимает
два значения "истина" и "ложь" и истинна на словах, имеющих
"abcd" своим подсловом. Эта функция не является индуктивной, но
имеет индуктивное расширение
x -"длина максимального начала слова abcd, являющегося концом x
10.2. Повторения в образце - источник проблем.
10.2.1. Можно ли в предыдущих рассуждениях заменить слово
"abcd" на произвольное слово?
Решение. Нет, и проблемы связаны с тем, что в образце могут
быть повторяющиеся буквы. Пусть, например, мы ищем вхождения
слова "ababc". Вот появилась буква "a", за ней идет "b", за ней
идет "a", затем снова "b". В этот момент мы с нетерпением ждем
буквы "c". Однако - к нашему разочарованию - вместо нее появляется
другая буква, и наш образец "ababc" не обнаружен. Однако
нас может ожидать утешительный приз: если вместо "c" появилась
буква "a", то не все потеряно: за ней могут последовать буквы
"b" и "c", и образец-таки будет найден.
Вот картинка, поясняющая сказанное:
x y z a b a b a b c .... "- входное слово
a b a b c "- мы ждали образца здесь
a b a b c "- а он оказался здесь
Таким образом, к моменту
|
x y z a b a b | "- входное слово
|
a b a b | c "- мы ждали образца здесь
|
a b | a b c "- а он оказался здесь
|
есть два возможных положения образца, каждое из которых подлежит
проверке. Тем не менее по-прежнему возможен конечный автомат,
читающий входное слово буква за буквой и переходящий из состояния
в состояние в зависимости от прочитанных букв.
10.2.2. Указать состояния соответствующего автомата и таблицу
перехода (новое состояние в зависимости от старого и читаемой
буквы).
Решение. По-прежнему состояния будут соответствовать наибольшему
началу образца, являющемуся концом прочитанной части
слова. Их будет шесть: 0, 1 ("a"), 2 ("ab"), 3 ("aba"), 4
("abab"), 5 ("ababc"). Таблица перехода:
Текущее Очередная Новое
состояние буква состояние
0 a 1 (a)
0 кроме a 0
1 (a) b 2 (ab)
1 (a) a 1 (a)
1 (a) кроме a,b 0
2 (ab) a 3 (aba)
2 (ab) кроме a 0
3 (aba) b 4 (abab)
3 (aba) a 1 (a)
3 (aba) кроме a,b 0
4 (abab) c 5 (ababc)
4 (abab) a 3 (aba)
4 (abab) кроме a,c 0
Для проверки посмотрим, к примеру, на вторую снизу строку. Если
прочитанная часть кончалась на "abab", а затем появилась буква
"a", то теперь прочитанная часть кончается на "ababa". Наибольшее
начало образца ("ababc"), которое есть ее конец - это
"aba".
Философский вопрос: мы говорили, что трудность состоит в
том, что есть несколько возможных положений образца, каждое из
которых может оказа
...Закладка в соц.сетях
