Жанр: Наука
Суперсила
...сциллятор, скажем, маятник
или просто масса, прикрепленная к пружине. Если массу слегка отклонить от состояния
равновесия, то она начнет колебаться взад-вперед в результате периодического воздействия
пружины. Положение массы в зависимости от времени будет изменяться по синусоиде,
изображенной на рис. 7. Такое движение массы определяется законом изменения силы
натяжения пружины. Величина этой силы прямо пропорциональна смещению массы из
положения равновесия, а направление таково, что она пытается вернуть массу в положение
равновесия: если пружина растянута, то сила создает притяжение, если пружина сжата -
отталкивание.
Предположим теперь, что сила, изменяющаяся по тому же закону, была бы направлена
не к положению равновесия, а от него. Поведение системы в этом случае оказалось бы
совершенно Другим. Отклонение массы от равновесия нарастало бы по экспоненте, масса
разгонялась бы все быстрее в одном и том же направлении. С пружинами такое невозможно,
а в других системах случается. Иногда система в одних условиях колеблется по
синусоидальному закону, а в других срывается в экспоненциальный режим.
Умение находить с помощью математического анализа скрытые соотношения и
симметрии, подобные, описанным выше, характеризует профессиональное мастерство
физиков. Нередко более тонкие симметрии удается обнаружить, только коренным образом
изменив математическое описание. Так произошло при переходе от птолемеевой космологии
к ньютоновской механике, гораздо позднее - и с самой ньютоновской механикой.
В XIX в. законы Ньютона были математически полностью переформулированы
французским физиком Жозефом Луи Лагранжем и ирландским физиком Уильямом Роуэном
Гамильтоном. И тот и другой видоизменили математическое описание с тем, чтобы
подчеркнуть простоту и изящество, заключенные в механике Ньютона. В работе Гамильтона,
в частности, неожиданно оказался предвестник квантовой революции, которой предстояло
опрокинуть всю классическую физику. Но до этого было еще далеко.
Основная проблема механики состоит в том, чтобы понять, описать и предсказать
траектории (пути), по которым движутся материальные частицы под воздействием
приложенных сил. Эти траектории, очевидно, имеют самый различный вид в зависимости от
характера действующих сил. Задача о путях распространения в прозрачной среде световых
лучей на первый взгляд кажется другой. Свет не подчиняется законам механики Ньютона,
хотя хорошо известно, что при прохождении через среду с изменяющейся плотностью
световые лучи искривляются. Например, нам кажется, что погруженная в пруд палка имеет
излом в том месте, где входит в воду. Дело в том, что световые волны замедляются в
плотных средах, и вторичные волны, исходящие из различных точек волнового фронта,
встречая на своем пути участки среды с различной плотностью, образно говоря, "сбиваются
с шага": одни идут медленнее, другие быстрее. В большинстве случаев световой луч в
конечном счете распространяется по пути, на котором от точки к точке затрачивается
наименьшее время. Таким образом, поведение светового луча можно понять на основе
теории волн, которые распространяются со скоростью, изменяющейся в зависимости от
свойств среды, через которую они проходят.
Изменив математическую формулировку механики Ньютона, Гамильтон заметил, что
наиболее сжатое выражение законов движения содержится в математическом соотношении,
тождественном принципу минимального времени распространения световых волн. Грубо
говоря, частицы стремятся переходить отточки к точке по наиболее легкому пути, т.е. с
наименьшим сопротивлением, который в большинстве случаев оказывается и кратчайшим,
т.е. требующим наименьших затрат времени. Тем самым было установлено, что
материальные частицы и световые волны, несмотря на различие их характера и поведения, с
математической точки зрения распространяются более или менее одинаковым образом.
Этот поразительный результат, полученный исключительно при попытке записать
законы механики в новой математической форме, обнаруживает глубокую гармонию в
природе, которая наводит на мысль, что в природе должны действовать и другие скрытые
принципы. Взглянув ретроспективно, мы видим теперь, в чем состоят эти принципы. Тесная
взаимосвязь между движением частиц и распространением световых волн указывает на то,
что с материальными частицами могут связываться и некоторые волновые свойства. "Волны
материи", о которых мы упоминали в гл. 2 и 3, послужили отправным пунктом развития
квантовой теории. Таким образом, математическая оптика Гамильтона, которая
первоначально казалась лишь жонглированием математическими символами, предстает
перед нами в новом свете - как провозвестник новой волновой теории материи.
Симметрия
Понятие симметрии хорошо знакомо и играет важную роль в повседневной жизни.
Многим творениям человеческих рук умышленно придается симметричная форма как из
эстетических, так и практических соображений. Мяч симметричен, так как выглядит
одинаково, как бы его ни поворачивали вокруг центра. Круглая печная труба сохраняет свой
внешний вид при более ограниченном наборе вращении - поворотах вокруг вертикальной
оси, проходящей через центр поперечного сечения.
В природе симметрия также встречается в изобилии. Снежинка обладает
удивительнейшей гексагональной симметрией. Кристаллы также имеют характерные
геометрические формы - вспомним хотя бы кубическую форму кристаллов соли,
отражающую регулярность атомной структуры. Падающая дождевая капля имеет форму
идеальной сферы и, замерзая, превращается в ледяной шарик - градину.
Другой вид симметрии, часто наблюдаемый в природе и в созданных человеком вещах,
- так называемая зеркальная симметрия. Человеческое тело обладает (приближенно)
зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. В зеркале правая и левая руки и
другие части тела меняются местами, но видимое Вами зеркальное отражение узнаваемо.
Многие архитектурные сооружения, например арки или соборы, обладают зеркальной
симметрией.
Между геометрической симметрией и тем, что в физике принято называть законами
сохранения, существует тесная связь. Законы сохранения говорят нам, что некоторые
величины не изменяются со временем. В американском футболе число игроков на поле
сохраняется. Игроки могут выходить на поле и уходить с поля, но общее число их остается
постоянным. В физике существует закон, согласно которому в любой изолированной
системе энергия, импульс и момент импульса должны сохраняться. Это отнюдь не означает,
что изолированная система не может изменяться, - просто любое изменение, происходящее в
системе, должно быть таким, чтобы три названные величины оставались постоянными. В
бильярде, где из-за гладкой текстуры поверхности бильярдного стола шары приближенно
можно считать механически изолированными, законы сохранения энергии и импульса
определяют направления движения и скорости шаров.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса вытекают непосредственно
из законов движения Ньютона, но более поздняя формулировка этих законов, данная
Лагранжем и Гамильтоном, позволила гораздо четче выявить их значение. Механика
Лагранжа и Гамильтона обнажила глубокую и мощную связь между сохранением той или
иной величины и, соответствующей симметрией рассматриваемой системы. Например, если
система симметрична относительно вращении, то из уравнений Гамильтона и Лагранжа
следует, что сохраняется момент импульса. Хорошей иллюстрацией сказанному может
служить сила тяготения Солнца. Хотя сферическое Солнце вращается вокруг своего центра,
это никак не сказывается на движении Земли по орбите. Гравитационное поле Солнца
симметрично и поэтому не изменяется при простом вращении. Этой геометрической
симметрии соответствует физический результат: момент импульса планеты, движущейся по
орбите, всегда постоянен. (Этот факт был открыт еще в XVII в. Кеплером, который, однако,
не оценил его истинный смысл.) Аналогичные соображения применимы к импульсу и
энергии.
Симметрии, соответствующие вращению или отражению, наглядны и радуют глаз, но
они не исчерпывают весь запас симметрий, существующих в природе. Исследуя
математическое описание той или иной физической системы, физики открывают время от
времени новые и неожиданные симметрии. Симметрии таинственно и тонко "запрятаны" в
математическом аппарате и совсем не очевидны тому, кто наблюдает саму физическую
систему. Манипулируя символами в уравнениях, физики пытаются раскрыть весь набор
симметрий, в том числе и таких, которые не видны "невооруженным глазом".
Классический пример такого рода, возникший на рубеже нашего столетия, относится к
законам электромагнитного поля.
Несколькими десятилетиями раньше Майкл Фарадей и другие физики установили, что
электричество и магнетизм тесно связаны между собой и что одно порождает другое.
Действие электрических и магнитных сил удобнее всего было описать, пользуясь понятием
поля - невидимого воздействия, создаваемого материей, простирающегося далеко в
пространство и способного влиять на электрически заряженные частицы, электрические токи
и магниты. Действие такого поля можно наблюдать, если попытаться сблизить два магнита:
не соприкасаясь друг с другом, они будут отталкиваться или притягиваться.
Позднее, в 50-х годах XIX в., Джеймс Клерк Максвелл, опираясь на эти факты,
разработал теорию, связав электрическое и магнитное поля единой системой уравнений.
Сначала Максвелл обнаружил, что эти уравнения "несбалансированны": члены, относящиеся
к электрическому и магнитному полям, входят в них не вполне симметрично. Чтобы придать
уравнениям более красивый и симметричный вид, он ввел дополнительный член. Его можно
было бы интерпретировать как не замеченный ранее эффект - порождение магнетизма
переменным электрическим полем, но оказалось, что такой эффект действительно
существует. Природа, очевидно, одобрила эстетический вкус Максвелла!
Введение дополнительного члена в уравнения Максвелла повлекло за собой
чрезвычайно глубокие последствия. Во-первых, это позволило соединить электрическое и
магнитное поля в единое электромагнитное поле. Уравнения Максвелла можно считать
первой единой теорией поля, первым шагом на долгом пути к суперсиле. Они показали, что
две силы природы, кажущиеся на первый взгляд совершенно различными, в
действительности могут оказаться двумя различными проявлениями объединяющей их силы.
Во-вторых, среди решений уравнения Максвелла обнаружились неожиданные, но
весьма многообещающие. Выяснилось, что уравнениям Максвелла удовлетворяют
различные синусоидальные функции (опять симметрия!), которые, как уже говорилось ранее
в этой главе, описывают периодические колебания, или волны. Эти электромагнитные
волны, заключил Максвелл, самостоятельно распространяются в поле, т.е. в том, что кажется
пустым пространством. Из своих уравнений он вывел формулу, выражающую скорость
электромагнитных волн через электрические и магнитные величины. Подставляя численные
значения, Максвелл получил, что скорость электромагнитных волн составляет около 300 000
км/с, т.е. совпадает со скоростью света. Отсюда последовал неизбежный вывод: свет должен
представлять собой электромагнитную волну. Он действительно может распространяться в
пустом пространстве, именно поэтому мы и видим Солнце.
Пойдя дальше, Максвелл предсказал также существование электромагнитных волн
другой длины, и через несколько лет его предсказание подтвердилось: Генрих Герц открыл в
лабораторных условиях радиоволны. Сегодня мы знаем, что гамма-, рентгеновское,
инфракрасное, ультрафиолетовое и СВЧ-излучения также представляют собой
электромагнитные волны. Небольшая добавка, внесенная Максвеллом в уравнения (носящие
ныне его имя) из соображений симметрии, принесла большие результаты.
Открытие электромагнитных волн имело далеко идущие последствия, приведя к
появлению радиотехники и в конечном счете к современной революции в электронике. Это
великолепный пример, наглядно демонстрирующий не только гигантские возможности
математики в описании мира и расширении нашего знания о нем, но и роль симметрии и
красоты как путеводного принципа. Но оценить полностью все следствия, вытекающие из
симметрии уравнений Максвелла, удалось лишь через пятьдесят лет.
На рубеже XX в. Анри Пуанкаре и Хендрик Лоренц исследовали математическую
структуру уравнений Максвелла. Их особенно интересовали симметрии, скрытые в
математических выражениях, - симметрии, которые тогда еще не были известны. Оказалось,
что знаменитый "дополнительный член", введенный Максвеллом в уравнения для
восстановления равноправии электрического и магнитного полей, соответствует
электромагнитному полю, обладающему богатой, но тонкой симметрией, которая выявляется
лишь при тщательном математическом анализе. По-видимому, только Эйнштейн с его
сверхъестественной интуицией мог предвидеть из физических соображений существование
подобной симметрии.
Симметрия Лоренца-Пуанкаре аналогична по своему духу таким геометрическим
симметриям как вращения и отражения, но отличается от них в одном важном отношении:
никому до этого не приходило в голову физически смешивать пространство и время. Всегда
считалось, что пространство - это пространство, а время - это время. То, что в симметрию
Лоренца-Пуанкаре входят оба компонента этой пары, было странно и неожиданно.
По существу новую симметрию можно рассматривать наподобие вращения, но не
только в одном пространстве. Это вращение затрагивает и время. Если к трем
пространственным измерениям добавить одно временное, то получится четырехмерное
пространство-время. Симметрия Лоренца-Пуанкаре - это своего рода вращение в
пространстве-времени. В результате такого вращения часть пространственного интервала
проектируется на время и наоборот. То, что уравнения Максвелла симметричны
относительно операции, связывающей воедино пространство и время, наводит на
размышления.
Понадобился гений Эйнштейна, чтобы полностью осознать все следствия такой
симметрии. Пространство и время не существуют независимо друг от друга, они неразрывно
связаны. Хитроумные "вращения" Лоренца и Пуанкаре - не просто абстрактная математика,
они могут происходить в реальном мире, осуществляясь через движение. Ключ к
причудливым пространственно-временным "проекциям", или преобразованиям, лежит в
скорости света и других электромагнитных волн, и величина этой скорости также следует
непосредственно из уравнений Максвелла. Таким образом, существует глубокая взаимосвязь
между распространением электромагнитных волн и структурой пространства и времени.
Когда наблюдатель движется со скоростью, близкой к скорости света, пространство и время
сильно изменяются, причем симметрично, и это отражено в математических соотношениях,
полученных Лоренцем и Пуанкаре. Именно такой необычный эффект, столь
противоречащий здравому смыслу, был описан в гл.2. Постижение столь тонкой и ранее не
известной симметрии природы послужило толчком к созданию теории относительности
Эйнштейна, а та в свою очередь ознаменовала рождение новой физики, потрясшей научный
мир и изменившей лицо двадцатого столетия.
Более абстрактные симметрии
Урок, преподнесенный работами Лоренца и Пуанкаре, состоит в том, что
математическое исследование, в особенности на основе анализа симметрии, может стать
источником выдающихся достижений в физике. Даже если заложенные в математическом
описании симметрии трудно или невозможно представить себе наглядно физически, они
могут указать путь к выявлению новых фундаментальных принципов природы. Поиск новых
симметрий стал главным средством, помогающим физику в наши дни продвигаться к
пониманию мира. Как мы увидим далее, суперсила - это высшее проявление симметрии в
природе.
Все симметрии, о которых говорилось до сих пор, являются симметриями пространства
или пространства-времени. Но понятие симметрии можно расширить, включив в него более
абстрактные понятия. Как уже отмечалось, между симметрией и законами сохранения
существует тесная связь. Один из наиболее твердо установленных законов сохранения -
закон сохранения электрического заряда. Заряд может быть положительным и
отрицательным, и закон сохранения заряда утверждает, что сумма положительного и
отрицательного зарядов остается неизменной величиной. Если положительный заряд
встречается с равным по абсолютной величине отрицательным зарядом, они нейтрализуют
друг друга, создавая в сумме нулевой заряд. Аналогично положительный заряд может
возникать, если одновременно возникает равный по абсолютной величине отрицательный
заряд. Но возникновение или исчезновение результирующего заряда абсолютно исключено.
Но коль скоро электрический заряд сохраняется, естественно возникает вопрос о том,
какова природа симметрии, связанной с этим законом сохранения. Тщетно стали бы мы
искать геометрическую симметрию, лежащую в основе закона сохранения электрического
заряда. Но в природе далеко не все симметрии имеют геометрический характер. Рассмотрим,
например, явление инфляции в экономике. Когда реальная стоимость доллара падает, падает
и благосостояние лиц с фиксированным доходом. Но если чей-то доход следует индексу цен,
то реальная покупательная способность этого лица не будет зависеть от стоимости доллара.
Можно сказать, что доход, "привязанный" к уровню цен, симметричен относительно
инфляционных процессов.
В физике также существует много симметрий негеометрического характера. Одна из
них связана с работой, совершаемой при подъеме тела. Затрачиваемая энергия зависит от
разности высот, которую требуется преодолеть при этом (но не зависит от траектории
подъема). Однако энергия не зависит от абсолютной высоты: безразлично, измеряются
высоты от уровня моря или от уровня суши, - важна только разность высот. Следовательно,
существует симметрия относительно выбора начала отсчета высот.
Аналогичная симметрия существует и для электрических полей. Роль высоты в этом
случае играет напряжение (электрический потенциал). Если электрический заряд движется в
электрическом поле от одной точки к другой, то затрачиваемая энергия зависит только от
разности потенциалов между конечной и начальной точками. Если к системе приложить
Дополнительное постоянное напряжение, то энергия, затрачиваемая на перемещение
электрического заряда в поле, не изменится. Это еще одна скрытая симметрия уравнений
Максвелла для электромагнитного поля!
Все три приведенных выше примера могут служить иллюстрациями того, что физики
называют калибровочными симметриями. Все три указанные симметрии включают' в тебя
"калибровку", т.е. изменение масштаба, соответственно - денег, высоты и напряжения. Все
три симметрии - абстрактные в том смысле, что они по своему характеру не геометрические.
Мы не сможем, взглянув на соответствующие явления, увидеть симметрию. Однако все три
скрытые симметрии являются важными характеристиками рассматриваемой системы.
Именно калибровочная симметрия напряжений обеспечивает сохранение электрического
заряда.
Нуклоны теряют свою индивидуальность
Последней пример абстрактной симметрии, которому отводится главная роль в
последующих главах, демонстрирует сильное ядерное взаимодействие между протонами и
нейтронами. Эксперименты показывают, что величина и другие свойства этого
взаимодействия не зависят от того, о каких частицах идет речь - протонах или нейтронах.
Действительно, протоны и нейтроны удивительно похожи друг на друга. Их массы
отличаются всего лишь на 0,1%. У них одинаковые спины и на них одинаково действуют
ядерные силы. Единственно, чем они отличаются, - это наличием у протона электрического
заряда, но поскольку при ядерных взаимодействиях электрический заряд не имеет значения,
он служит лишь меткой протона. Заряд позволяет распознавать протон и отличать его от
нейтрона, но никак не сказывается на ядерном взаимодействии, связывающем протоны и
нейтроны. Если протон лишить электрического заряда, то он утратит свою
индивидуальность.
Тесное сходство протона и нейтрона наводит на мысль, что здесь существует
симметрия. Действительно, на ядерных процессах никак не отразится, если бы мы каким-то
образом смогли заменить все протоны нейтронами и наоборот. Можно пойти и дальше.
Представим себе, что у нас есть волшебная ручка с указателем, поворачивая которую, мы
можем превращать протоны в нейтроны. Предположим, когда указатель находится в верхнем
положении, все рассматриваемые частицы - протоны; если же ручку повернуть на
пол-оборота, так чтобы указатель был направлен вниз, все протоны превратятся в нейтроны
(рис. 8). Разумеется, это чисто мысленный эксперимент, так как в действительности мы не
можем превращать протоны в нейтроны, а нейтроны в протоны. Эта абстрактная модель
позволяет нам обнаружить абстрактную симметрию, но она очень полезна, поскольку
помогает понять природу сильного взаимодействия.
Рис.8 Волшебная ручка. Ее вращение позволяет постепенно изменять природу
ядерных частиц. Когда указатель ручки находится в верхнем положении, частицы на 100 %
представляют собой протоны (р). При повороте ручки частицы переходят в смешанное
состояние - отчасти протон, отчасти нейтрон. Когда же Указатель направлен вниз, все
протоны превращаются в нейтроны (n). Описанный процесс, несмотря на всю его
условность, отражает фундаментальную симметрию ядерных сил.
Предположим теперь, что превращение протона в нейтрон происходит не скачком, а
плавно по мере поворота волшебной ручки. Когда указатель находится в промежуточном
положении, частицы не являются в чистом виде ни протонами, ни нейтронами, а
представляют собой своего рода гибрид того и другого. По мере удаления указателя от
положения, соответствующего на циферблате 12 ч, сродство с протоном у частиц убывает, а
сродство с нейтроном растет. Возможно, не так-то просто представить себе, что такое
сродство с протоном и о нейтроном или гибрид протона и нейтрона. Можно предложить
другую интерпретацию промежуточного положения указателя: при наблюдении данная
частица оказывается то протоном, то нейтроном. Частица утрачивает свою
индивидуальность и хаотически переходит из одного состояния (например, "протон") в
другое ("нейтрон"). Когда указатель стоит в положении, близком к "12ч", частица в
основном находится в состоянии "протон", и вероятность обнаружить при ее наблюдении
протон близка к единице. По мере того как указатель приближается к "6ч", вероятность
обнаружить при наблюдении частицы нейтрон все возрастает. Когда указатель направлен
строго вниз, вероятность обнаружить протон падает до нуля, и все 100% приходятся на
нейтрон.
Если волшебная ручка снабжена двумя указателями, один из которых смотрит вверх, а
другой - вниз (рис. 9), то вращая ручку, мы будем одновременно наблюдать превращение
протонов в нейтроны, а нейтронов в протоны. Положение ручки, изображенное на рис. 9,а,
соответствует нынешнему состоянию Вселенной. При повороте ручки (рис. 9, б) протоны
начинают превращаться в нейтроны, а нейтроны - в протоны, и степень сродства с
нейтронами у протонов равна степени сродства с протонами нейтронов. Когда же ручка
совершит пол-оборота, все протоны превратятся в нейтроны, а нейтроны - в протоны.
Ручка с указателями - это не более чем удобный прием, позволяющий наглядно
проиллюстрировать свойство симметрии ядерных сил. Применительно к рассматриваемой
модели можно сказать, что в сущности ядерные силы не зависят от положения указателя.
Направлен ли он вверх, вниз, вбок или под любым про" межуточным углом, ядерные 'силы
останутся неизменными. Это свойство получило довольно громоздкое название - симметрия
изотопического спина, или изотопическая симметрия. Слово "изотопический" здесь связано
с тем, что ядра, отличающиеся только числом нейтронов, называются изотопами, а свойства
симметрии, о которой идет речь, аналогичны свойствам собственного спина,
упоминавшегося в гл. 2.
Рис.9 Волшебная ручка с двумя указателями позволяет описать взаимное превращение
протонов и нейтронов. Черный указатель действует, как и на рис. 8, а светлый -
описывает превращение всех нейтронов в протоны. Случай а соответствует реально
наблюдаемому соотношению числа протонов и нейтронов. В случае б протоны частично
переходят в нейтроны, а нейтроны - в равной степени в протоны. Когда ручка перейдет в
положение в, все исходные протоны превратятся в нейтроны, а все нейтроны-в протоны.
Вследствие фундаментальной симметрии ядерные силы не зависят от положения
волшебной ручки.
Физика и фантазия
Понятие изотопического спина - великолепный пример роли абстрактного мышления в
физике. Как мы увидим, введение этого понятия имело глубокие последствия. В реальном
мире нет "волшебных ручек с указателями", нет и устройств для измерения сродства с
протонами у нейтронов и с нейтронами у протонов. Идея смешения индивидуальности
протонов и нейтронов - плод чисто теоретической мысли, своего рода фантазия. Но
логически она вполне допустима. Мы можем мысленно представить себе подобное, даже
если в реальном мире это исключено. То, что воображаемый процесс может иметь самое
непосредственное отношение к физике реального мира, возможно, покажется
удивительным, но таким приемом очень эффективно пользуется современный физик. Свою
науку он рассматривает как модель, описывающую реальный мир наблюдений. Эта модель
может включать множество Дополнительных особенностей, которые, хотя сами по себе и не
отражают реального опыта, играют важную роль в теории. Почему физикам приходится
придумывать чисто умозрительные, абстрактные понятия для моделирования реального
мира?
Разве нельзя ограничиться исключительно наблюдаемыми величинами? Ведь в конце
концов теорию можно проверить только при конкретном наблюдении, и умозрительные
особенности модели никогда не входят явно в предсказания теории, относящиеся к реальным
наблюдениям. Так стоит ли вообще прибегать к чистому вымыслу?
Включение умозрительных понятий в физические теории - обычная практика, которую
труднее всего объяснить неспециалисту.
...Закладка в соц.сетях
