Жанр: Журнал
Математика и практика. Математика и культура.
...нций возникает уже в классической электродинамике.
Действительно, поле движущегося по некоторой траектории точечного заряда
(потенциалы Лиенара-Вихерта) генерируется "кулоновским" полем этого заряда в
предшествующем его положении, распространяющимся с фундаментальной скоростью и
достигающим точку наблюдения к данному моменту времени. Более того,
конгруенции, образуемые световыми конусaми излучения заряда, составляют
специальный класс т.н. бессдвиговых изотропных конгруенций (см. например [9],
глава 7) и могут быть все получены как решения алгебраического уравнения (5).
Эта конструкция допускает важное обобщение. Оказывается, что большое
число физически важных решений (5) возникает при формальном рассмотрении
точечного заряда, движущегося по некоторой комплексной кривой в полном
комплексифицированном4 пространстве Минковского CM. Комплексный световой конус
"излучения" такого заряда образует на вещественном срезе CM - физическом
пространстве-времени световые конгруенции, каустики которых имеют уже не
точечную, а гораздо более сложную структуру [21,22] (состоящую в общем случае из
большого числа связных компонент различных размерностей). В частности,
"керровское" кольцо радиуса a, соответствующее решению уравнения (5) вида
, (10)
и генерирующееся квадратичной и независящей от времени функцией (5) вида
где , , образуется "комплексно-радиальной" световой конгруенцией точечного
заряда, покоящегося в "смещенной" в область комплексных координат точке
пространства. В силу стационарности решения (10) даже трехмерные конгруенции,
определяемые векторным полем (8), являются прямолинейными.
Как уже упоминалось выше, важной особенностью рассматриваемых решений
является их глобальная многозначность. В частности, "керровское" решение (10)
двузначно, и на самом деле мы имеем здесь дело с двумя пучками прямых, вдоль
которых происходит перенос поля. Каждая конгруенция определена лишь локально,
так что при обходе сингулярного кольца происходит переход на другую ветвь5.
Таким же многозначным образом ведет себя и электромагнитное поле,
ассоциированное с решениями уравнения (5). Если, однако, ограничиться
рассмотрением частицеподобных решений с компактными сингулярностями6, то всегда
возможно окружить их, например, сферами соответствующих радиусов и однозначно
определить после этого поле и конгруенцию во внешней области. Физически это
соответствует естественному запрету прохождения внутрь частицеподобных
образований и в случае одномерных замкнутых особенностей по сути эквивалентно
процедуре проведения разреза через некоторую "минимальную" поверхность,
ограниченную сингулярным контуром (для "керровского решения" - через плоскость
кольца).
С другой стороны, глобальная неоднозначность даже таких физически
определенных величин, как напряженность электромагнитного поля7, показывает,
что истинными физическими объектами в данном подходе являются только сами
частицы - сингулярности, поскольку их форма, "квантовые числа" и временная
эволюция однозначно определяются структурой решения (выбором генерирующей
функции (). Что касается полей, то они в силу многозначной структуры являются в
некотором смысле вторичными, хотя и определяют по существу структуру частиц как
собственных сингулярностей.
То же самое можно отнести и к фундаментальным световым конгруенциям (8),
каустики которых порождают рассматриваемые частцеподобные образования. Эти
конгруенции можно рассматривать как некоторый первичный ("предвечный") свет,
"предсвет", ненаблюдаемый сам по себе (???), но порождающий основные
частицеподобные элементы в местах "сгущения" своих лучей, т.е. на каустиках и
из каустик. Представления о светоносном эфире и о рождающейся из света материи,
неизбежно возникающие при анализе исходной алгебраической (числовой) структуры,
вызывают даже ассоциации с библейскими и другими древними верованиями. Наверняка
многие теологи, философы и мистики приходили к подобным картинам Мира, однако
исторические вопросы требуют отдельного рассмотрения. Из известных же автору
идейно близких физических работ отметим статью В.В.Смолянинова [23] (гипотеза о
существовании однородной светоносной среды и индуцируемыми ею и процедурами
синхронизации различными эффективными геометриями пространства-времени), а также
работы Л.С.Шихобалова [24] (концепция лучистой частицы, фактически порождаемой
световой конгруенцией)8.
4. "Предсвет" как время-генерирующий поток. Частицы-каустики как часы. Спин и
предельная скорость.
Существование универсального эффекта "переноса" поля с постоянной
фундаментальной скоростью c для каждого из решений основной системы уравнений
B-ОКР c самого начала определяет разницу в статусе временнoй и пространственных
координат и позволяет по-новому подойти к проблеме физического времени в целом.
Действительно, со времен объединения Г.Минковским в 1908 году пространства и
времени в единый пространственно-временной континуум с псевдоевклидовой
геометрией прошло уже почти 100 лет. Этот синтез, с другой стороны, "затушевал"
принципиальную разницу временнoй и пространственной сущностей и мало помог
пониманию таких фундаментальных проблем, как природа направления и
необратимости времени, его локальности (глобальности), (не)зависимости хода
времени от материальных процессов, T-(не)инвариантности фундаментальных
уравнений и т.п. В ОТО для учета специфики временнoй координаты уже давно
используется т.н. "3+1 расщепление" геометрии пространственно-временного
многообразия (хроногеометрия систем отсчета [25,26]).
Очевидно, однако, что все эти методы являются не более, чем паллиативой. На
самом деле, решение многих из этих важнейших вопросов можно было бы найти уже
давно, используя и развивая гениальную догадку Р. Пенроуза о твисторной
структуре физического пространства-времени [9,27]. Согласно ей, видимая
геометрия определяется существованием более простой и естественной первичной
комплексной геометрии пространства твисторов {}, связанных соотношением
инцидентности (4) с точками физического пространства-времени Минковского M,
которое становится тем самым вторичным, со свойствами (в том числе и времени),
определяемыми первичной геометрией твисторного "предпространства".
Как ни странно, этот выдающийся физик и геометр не довел свою схему до уровня
простых и наглядных физических представлений, так что твисторы для большинства
физиков до сих пор остаются математически достаточно сложным и искусственно
вводимым объектом. В рамках же рассматриваемой здесь реализации твисторы
оказываются связанными с первичной алгебраической структурой и возникают
совершенно естественно при интегрировании уравнений B-ОКР.
Действительно, при фиксированных компонентах твистора {}, удовлетворяющих как
следствие эрмитовости матрицы X=X+ координат M дополнительному условию "нулевой
нормы"
из основного соотношения инцидентности (4) пространственные координаты
определяются через временную переменную t , остающуюся произвольной, следующим
образом9 :
(11)
где (- матрицы Паули), а единичный вектор в калибровке спинора совпадает
с определенным ранее вектором (8) и определяет направление переноса поля
твисторных компонент. Т.о. наличие твисторной структуры у физических уравнений
предопределяет "излучательную" структуру всех его решений и, наряду с формальным
сохранением релятивистской инвариантности, естественно реализует схему "3+1
расщепления", выделяя (достаточно простую и геометричную) эволюцию полевых
распределений во времени по отношению к (весьма разнообразным и сложным)
распределениям поля в 3-пространстве, т.е дает прямое указание на особую роль
времени в теории.
Возникающая картина весьма впечатляет и хорошо коррелирует с
неоднократно высказывавшимися предположениями о существовании некоторого
материального носителя, определяющего течение времени, особенно с концепцией
А.П.Левича о время-генерирующем потоке. "Пространство есть среда, состоящая из
предэлементов", - пишет он в статье [28], - "...Время вселенной порождается
некоторым генерирующим потоком предэлементов одного из довольно глубоких уровней
иерархии. ... Источники вхождения во вселенную (или стоки из нее)
генерирующего потока отождествляются с заряженными частицами мира". В рамках
нашего подхода такой субматериальный время-генерирующий поток можно естественно
связать с "потоком" прямолинейно распространяющихся "элементов"
фундаментальных полей - "предсветовых" лучей10, а электрические заряды -
"источники" и "стоки" потока времени - с каустиками световых конгруенций,
являющимися сингулярностями ассоциированного электромагнитного поля и несущими
квантованный по величине заряд.
Существование однородного светоносного эфира, образуемого пучками
прямолинейных траекторий движущихся со скоростью c элементов поля, определяет
единый, равномерный и необратимый ход "космического" времени. При этом каждая
точка "предматерии", принадлежащая одной из частиц-каустик, становится
естественными универсальными часами, отсчитывая промежутки времени по
"количеству" прошедших мимо нее "элементов" поля. В каждой из инерциальных
систем отсчета11 ход времени не зависит от распределения материи и одинаков во
всем пространстве!
Таким образом, рассматриваемый здесь подход во многом сближается с т.н.
реляционной концепцией времени, предполагающей, что время полностью определяется
физической материей. "Естественно ожидать", - пишет Л.С.Шихобалов [29], - "что в
такой теории время будет выражаться через какие-то характеристики процессов,
происходящих в физических системах. Но тогда само понятие процесса должно быть
определено до введения представления о времени и независимо от него. ...
Совершенно не ясно, как это можно сделать." Положенные в основу теории
твисторные переменные и отношения между ними, задаваемые функциональными
зависимостями типа (1),(2), как раз и позволяют, через соотношение инцидентности
(4), реконструировать физический процесс, эволюцию во времени и саму геометрию
пространства-времени и, по сути, определить как таковое само физическое время .
Заметим, что идейно такой подход близок и к развиваемой в работах
Ю.С.Владимирова концепции бинарной геометрофизики [30], в которой как динамика
частиц, так и геометрия пространства-времени является следствием лишь некоторых
фундаментальных отношений12 между "предматериальными" объектами
(интерпретируемыми как "in-out" состояния "предчастиц").
На примере "керровского" частицеподобного решения с кольцевой
сингулярностью рассмотрим теперь, каким образом феномен переноса поля с
универсальной скоростью c совместим с возможностью движения каустик-частиц со
скоростями, отличными от скорости света. Совершая преобразование буста в
направлении оси симметрии OZ над фундаментальным решением (10), получим новое
решение с сингулярным кольцом того же радиуса (т.е. поперечные размеры остаются
неизменными), плоскость которого перемещается параллельно оси OZ со скоростью
. При этом через каждую точку кольца проходит один из лучей образующей
конгруенции, причем легко показать, что угол наклона ( луча к плоскости кольца
одинаков для всех точек и равен . Разложение полной скорости c переноса поля
через каждую точку кольца дает тогда две составляющие: трансляционную v,
определяющую поступательное движение кольца как целого, и внутреннюю
вращательную u, причем имеем13
В частности, для покоящегося кольца происходит перенос поля вдоль кольца (по
касательной в каждой точке) со скоростью света, т.е. покоящаяся каустика-частица
с необходимостью должна обладать внутренним вращением. В рамках ОТО это вращение
сингулярного кольца решения Керра-Ньюмена естественно связано с полным моментом
количества движения - спином частицеподобного образования14, пропорциональным
радиусу кольца.
Для каустики-частицы, движущейся со скоростью, близкой к c, скорость
вращения u уменьшается и стремится к нулю при . Что касается тахионных решений,
то в данной модели они просто не могут реализоваться, поскольку структура
сингулярности при бусте с параметром изменяется качественным образом и
становится некомпактной, а ассоциированное с таким решением электромагнитное
поле не имеет уже электрического заряда и представляет собой сингулярный
волновой фронт, скорость распространения которого опять-таки оказывается равной
(а не большей!) с (см., например, [1]).
Таким образом, твисторная "предгеометрия" совместно с естественно
порождаемой ей структурой каустик-частиц приводит к некоторым общим заключением
о характере движения последних, а именно 1) о запрете сверхсветовых скоростей и
о взаимно дополнительном характере поступательного и вращательного движений и 2)
о неизбежности существования внутреннего вращения со скоростью c (спина) для
всех устойчивых каустик-частиц.
Мы ограничим этим рассмотрение общих физических свойств частиц,
вытекающих из их интерпретации в качестве каустик. Повторим лишь, что
классификация каустик и волновых фронтов, интенсивно развивающаяся сейчас в
рамках теории катастроф и ее обобщений [19], может иметь прямое отношение к
классификации элементарных частиц и объяснению спектра их характеристик.
5. Основные принципы "неопифагорейского" подхода к построению физических теорий.
В предыдущих разделах было показано, что чисто абстрактная математическая
структура (в данном конкретном случае - структура "аналитических" функций в
алгебре комплексных кватернионов B) однозначно ведет к представлениям о
некотором мире локализованных (в "предпространстве") и изменяющихся (в
"предвремени") сингулярных частицеподобных образований. Во многих отношениях
этот виртуальный мир, целиком закодированный в единственном инвариантном 4-х
символьном соотношении (1), удивительно напоминает реальный15. Более того,
возникающие при рассмотрении этого соотношения вторичные математические
структуры (твисторная, калибровочная, самодуальная, риманова, струнная и т.п.)
оказываются как раз теми фундаментальными структурами, которые используются в
современной теоретической физике для описания наблюдаемых свойств элементарных
частиц и их взаимодействий. Аналогичным образом и характеристические уравнения
этих структур, возникающие как прямое следствие первичных уравнений Вдифференцируемости,
представляют собой в основном известные уравнения физических
полей.
Однако отношения между этими структурами и их внутренние связи оказываются
далеко не тождественными известным из формализма квантовой теории и ОТО, а во
многих случаях представляются совершенно неожиданными, математически красивыми и
более адекватными наблюдаемой физике (как, например, в случае естественно
возникающего квантования электрического заряда). Тем самым внутренняя
структура исходных уравнений, казалось бы не предполагающая никакой связи с
физической реальностью, открывает совершенно новые возможности для ее описания
даже в рамках общепринятой гносеологической парадигмы16.
Пока что, разумеется, нет никаких оснований считать, что рассмотренная модель -
это "истина в последней инстанции", дающая полное и описание физической
реальности на основе единого общего принципа, т.е. что, иначе говоря, наш Мир
есть комплексно-кватернионное многообразие с динамикой, полностью определенной
структурой аналитичности в этой алгебре. Более того, требование аналитичности
или даже гладкости является весьма жестким ограничением с точки зрения
математики и, возможно, должно быть исключено вообще. Однако как пример
возможностей принципиально нового подхода к построению физических теорий
рассмотренная реализация может считаться вполне успешной и даже впечатляющей. На
этой основе мы в заключение и сформулируем главные принципы общей
"неопифагорейской" программы в том виде, как она представляется в настоящее
время.
1. В основе Природы лежит некоторый первичный Принцип (Код, Алгоритм,
Метазакон), имеющий чисто абстрактное математическое происхождение. Все
известные т.н. "законы природы", полученные из эксперимента, либо являются
прямыми следствиями этого единственного исходного принципа либо вообще не имеют
отношения к правильному описанию природы и лишь случайно приближенно
выполняются при определенных условиях.
2. В современных условиях новые эксперименты мало что могут добавить к нашему
пониманию окружающего мира. Фундаментальные законы природы следует изучать не в
лаборатории (в экспериментах с частицами), а главным образом "на бумаге" (ставя
"эксперименты" над самими математическими структурами (В.И.Арнольд, см. [1])).
При этом может оказаться, что господствующие физические теории и представления
(даже такие красивые, как ОТО) не имеют никакого отношения к реальности, и о
принципе соответствия в принятом в настоящее время смысле вообще придется
забыть.
3. В основании первичного Принципа и, как следствие, устройства Вселенной лежит
некоторая объективно существующая математическая структура (скорее всего,
числовая или/и логическая), исключительная по своим внутренним свойствам.
Вселенная представляет собой своего рода реализацию ("материализацию") этой
первичной структуры.
4. Каждая математическая структура является является в каком-то смысле
объективно существующей и соответствует некоторому отвечающему только ей "миру".
Однако большинство таких структур и соответствующие им "миры" являются, скорее
всего, вырожденными. Только одна уникальная структура кодирует наш мир вплоть до
структуры возникающего в нем наблюдателя (это есть своего рода математическая
версия известного антропного принципа), и задача состоит в ее нахождении и
исследовании. Тем не менее, нельзя исключить, что существует несколько (или даже
бесконечно много) исключительных структур, генерирующих "параллельно
сосуществующие" миры. На сегодняшнем уровне понимания говорить об их возможных
взаимоотношениях (взаимодействиях) преждевременно17.
5. Одним из признаком уникальности и невырожденности первичной структуры
является, по-видимому, множество эквивалентных способов (разнообразие языков) ее
описания. Например, исключительная алгебраическая структура, положенная в основу
"метатеории", должна порождать исключительную геометрию пространства-времени,
соответствовать уникальной топологии, иметь необычную группу автоморфизмов18 и
т.п. При этом, наоборот, можно исходить из любой из вышеперечисленных структур,
индуцирующих остальные свойства. Первичная фундаментальная структура есть
некоторая абстрактная сущность, допускающая большое количество эквивалентных
математических описаний и соответствующих им физических интерпретаций)19.
6. При выборе кандидата на роль первичной структуры нельзя ограничиваться
известным и используемым в физике набором (дифференциальные уравнения,
расслоенные пространства, риманова геометрия и т.п.). Не следует и навязывать
природе своих физических представлений (пространство-время как многообразие,
калибровочные поля как переносчики взаимодействий, корпускулярно-волновой
дуализм и вероятностная квантовая парадигма и т.п.). Только не связывая себя
заранее догмами ортодоксальных теорий можно надеяться обнаружить принципиально
новые, истинные способы описания природы, закодированные в первичной структуре.
В шутку можно сказать, что законы Природы должны открывать математики, не
знающие физики. Говоря же всерьез, следует опираться только на наиболее общие и
неконкретные свойства окружающего нас Мира - например, на факт существования
нескольких классов тождественных по внутренним свойствам объектов (частиц,
кварков, субкварков - не важно!), обладающих способностью к объединению
(слиянию, взаимодействию) и образованию иерархий по отношению к разным
пространственно-временным масштабам20.
7. Изначально имеет смысл предполагать также, что первичная физика должна быть
существенно нелокальной, и именно глобальные свойства пространства-времени и
глобальную динамику ("сверхпричинные глобальные корреляции") должна в первую
очередь кодировать первичная структура! Действительно, существующая локальная
физика возникла просто как результат ограничения человеческой практики и
экспериментов чрезвычайно малыми по размерам и длительности областями. С точки
зрения математики и философии общего "пифагорейского" подхода очевидно, что
основным языком физики должен быть язык топологии, отображений и функциональных
уравнений (подробнее см. статью автора [34], раздел 3).
8. После выбора кандидата на роль первичной структуры ее анализ, прочтение ее
свойств должно проводиться жестким дедуктивным путем и, в частности, исключить
всякую возможность введения в схему феноменологических, подгоночных параметров
"для лучшего описания наблюдаемых закономерностей". В противном случае мы
никогда не поймем истинный язык Природы! Математические свойства положенной в
основу первичной структуры должны быть прослежены до такой стадии, когда
физическая интерпретация возникающих абстрактных структур и характеристических
уравнений станет самоочевидной (хотя, возможно, и не единственной, см. пункт 5).
При отсутствии возможности естественной идентификации внутренних свойств
структуры с физической реальностью следует не "улучшать" или "добавлять", а
полностью менять исходную структуру и повторять исследования с другим
кандидатом.
В заключение хотелось бы отметить, что предлагаемый радикально новый подход к
построению физических теорий на первых порах может оказаться практически
малоэффективным и неблагодарным. Действительно, даже "угадав" исключительную
первичную структуру, положенную Творцом в основу Мироздания (а, скорее всего,
лишь приблизившись к ее пониманию), трудно надеяться сразу же воспроизвести всю
эффективную феноменоменологию описания природы, которая была создана (и
продолжает созидаться, в том числе в рамках суперструнной парадигмы) поколениями
выдающихся ученых (в частности, понять происхождение Стандартной модели или
вывести из абстрактной схемы превосходящую ее по эффективности описания
альтернативную модель). Не следует поэтому на первых порах и требовать от
подобных общих подходов каких-то новых предсказаний, проверяемых
экспериментально. Всему свое время. Наше глубокое убеждение, основанное на уже
реализованной и представленной выше алгебродинамической схеме, состоит в том,
что именно понимаемая в современном смысле (и не имеющая ничего общего с
примитивной нумерологией) "пифагорейская" философия позволит совершенно поновому
взглянуть на природу физических законов и на роль фундаментальной
математики в их структуре. В конце концов, только и именно такой подход и
способен приблизить нас к пониманию истинного Плана Творца.
Литература.
1. Арнольд В.И. // Успехи мат. наук, 53, (1998), 229; Успехи физ. наук, 169,
(1999), 1311
2. Симаков М.Ю. Пифагорейская программа. - М., изд-во "Диалог МГУ", 1997
3. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. - М., "Наука", 1989.
С.218
4. Эйнштейн А. Полное собрание сочинений. Т.2. - М., "Наука", 1966. С.286
5. Кассандров В.В. Алгебраическая структура пространства-времени и
алгебродинамика. - М., изд. РУДН, 1992
6. Kassandrov V.V. // Gravit. & Cosmol. (Moscow), 3, (1995), 216; (Preprint
gr-qc / 0007027)
7. Kassandrov V.V. // Acta Applic. Math., 50, (1998), 197
8. Kassandrov V.V. // В сб. "Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике",
ред. Лыхмус Я.К., Кууск П. - Таллинн, ИФ АН Эстонии, вып. 66, (1990), с. 202
9. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Т.2. - М., "Мир", 1988
10. Эйнштейн А. Полное собрание сочинений. Т.4. - М., "Наука", 1967. С.109
11. Ranada A.F., Trueba J.L. // Phys. Lett., 202A, (1995), 337; 235A, (1997),
25.
Ranada A.F. // An. Fis. (Madrid), A87, (1991), 55; (Preprint hep-th /
9802166)
12. Kassandrov V.V., Rizcalla J.A. // Preprint gr-qc / 0012109
13. Кассандров В.В., Ризкалла Ж.А. // В сб. "Новейшие проблемы теории поля",
ред. Аминова А. В. Казань, изд. КГУ, 1998. C. 176; (Preprint gr-qc / 9809078)
14. Kassandrov V.V., Trishin V.N. // Gravit. & Cosmol. (Moscow), 5, (1999),
272 ( Preprint gr-qc / 0007026)
15. Кассандров В.В. // Вестник РУДН, сер. Физика, 8(1), (2000), 36
16. Vinogradov A. M. // J. Geom. Phys., 14, (1994), 146 (см. перевод:
приложение к книге "Симметрии и законы сохранения уравнений математической
физики". - М., "Факториал", 1980. С.207)
17. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию
нелинейных дифференциальных уравнений. - М., "Наука", 1986.
18. Лычагин В.В. // В сб. "Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т.20." -
М., ВИНИТИ, 1980.
19. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности
дифференцируемых отображений. Том 1,2. - М., "Наука", 1982,1984
Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов.- М., "Фазис", 1996
20. Бейтман Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн. -
М., ГИФМЛ, 1958
21. Newman E.T. // J. Math. Phys., 14, (1973), 102;
Lind R.W., Newman E.T. // J. Math. Phys., 15, (1974), 1103
22 Burinskii A.Ya., Kerr R.P., Perjes Z. // Preprint gr-qc / 5901012
23 Смолянинов В.В. // Успехи физ. наук, 170, (2000), 1064
24 Шихобалов Л.С. // Вестник СПбГУ, Cер.1, вып.3, (1997), 109; вып.4, (1999),
25 Зельманов А.Л. // Доклады АН СССР, 107, (1956), 815;
Зельманов А.Л., Агарков В.Г. Элементы общей теории относительности. - М.,
"Наука", 1989. Часть IV.
26 Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. - М., "Энергоиздат",
27 Penrose R., MacCallum M. A. H. // Phys. Rep. C, 6, (1973), 241
28 Левич А.П. // В сб. "Конструкции времени в естествознании: на пути понимания
феномена времени.", ред. Левич А.П. - М., изд-во МГУ, 1996. С.276; 279
29 Шихобалов Л.С. // Вестник СПбГУ, отд. РАЕН, №1 (4), (1997), 369
30 Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий.
Часть I, II. - М., изд-во МГУ, 1996, 1998.
31 Кулаков Ю.И. Элементы теории ф
Закладка в соц.сетях
