Жанр: Журнал
Математика и практика. Математика и культура.
"Математика и практика. Математика и культура. №2". Под ред. Симакова М.Ю. //
М.,"Самообразование", 2001, с. 61-76.
ЧИСЛО, ВРЕМЯ, СВЕТ
(Алгебраическая динамика и физическая картина Мира)
Владимир В. Кассандров
(Российский Университет дружбы народов, Москва,
117419, Орджоникидзе, 3, e-mail: vkassan@sci.pfu.edu.ru)
1. Введение.
Целью настоящей статьи является попытка обратить внимание (и продемонстрировать
на примере развиваемого автором алгебродинамического подхода) на новые
взаимоотношения математики с естественными науками, прежде всего - с
фундаментальной теоретической физикой. Эти отношения, возникающие на наших
глазах, до конца еще не осознаны ни чистыми математиками, ни теоретиками, ни
философами науки. По существу речь идет о (понимаемой в современном смысле)
идеологии неопифагореизма, в которой математика из "служанки", понукаемой
потребностями естественных наук, становится их "госпожой", диктующей истинный
вид законов природы и расшифровывающей происхождение и смысл (алгебраический,
геометрический, топологический) уже открытых законов.
Яркие представители этого направления, испытавшего расцвет в эпоху античности
(Пифагор, Платон, Плотин), на самом деле присутствовали во все исторические
периоды [2], начиная от первобытных времен и кончая такими выдающимися
мыслителями, как У.Гамильтон, В.Клиффорд, А.Эддингтон, Г.Вейль, П.А.М.Дирак и
(во второй половине жизни) А.Эйнштейн. Их взгляды не являлись господствующими
в естественнонаучной среде и в философии: напротив, все основные достижения
последних столетий скорее можно связать с галилеевско-ньютоновской парадигмой
научного познания (опыт-гипотеза-опыт-закон-опыт), нашедшей свое логическое
завершение в агрессивно-позитивистской философии квантовой теории. Однако
именно их идеи, их мечты о существовании некоего Метазакона, положенного Творцом
в основу Мироздания, их глубокая убежденность в изначальном единстве мира и в
нашей способности абсолютного его познания задавали тот масштаб научного
творчества, сохраняли те высокие идеалы, которые не позволили безвозвратно
затащить науку в болото феноменологии и голой схоластики.
Сегодня пришло время "собирать камни". Виднейшие теоретики после более чем
полувекового перерыва вновь обращаются к основаниям физики, пытаясь из самых
общих соображений определить и понять истинную размерность пространствавремени,
происхождение Стандартной модели и безразмерные "магические числа"
(константы взаимодействия и отношения масс микрочастиц и т.п.).
В математике, с другой стороны, все чаще встречаются взгляды на абстрактные
структуры, естественно возникающие в рамках различных формализмов, не как на
некую "игру ума", а как на объективные сущности, которые c неизбежноcтью
имеют прямое отношение к реальности окружающего мира. Об изменениях отношения
взгляда математиков на собственную деятельность и на отношения с естественными
науками свидетельствует, в частности, и известная полемика В.И.Арнольда с
представителями "школы Н.Бурбаки" [1].
Однако, несмотря на несколько более демократичную и творческую обстановку,
сложившуюся в современной физике и математике, кардинального прорыва к новому
пониманию природы пока не просматривается. Ныне господствующие в физике
представления и парадигмы возведены в догму и считаются не подлежащими
радикальному пересмотру, а лишь уточнению при непременном условии соблюдения
т.н. принципа соответствия, т.е. полного восстановления прежней теории из новой
в результате некоторой процедуры предельного перехода. Лишь единицы из ведущих
физиков-теоретиков, "угробивших" всю жизнь на развитие общепринятого формализма,
имеют мужество допустить, что этот самый формализм может не иметь ничего общего
с истинным языком и законами природы.
Полностью отсутствует понимание того, что общепринятые в настоящее время
представления, концепции, уравнения в принципе не могут быть достоверны,
поскольку получены в результате "детских игр", своего рода "мозгового штурма"
естествоиспытателей по поиску наилучшего описания некоторой совокупности
установленных на опыте фактов. При этом ответ не может быть единственным
(поскольку на самом деле неизвестно, при каких условиях, "связях" ищется
решение "задачи оптимизации"). Только гениальная интуиция великих мыслителей
прошлого позволяет надеяться, что выработанный ими язык фундаментальной физики
может в какой-то мере (и не более того!) оказаться адекватным действительному
"Коду природы".
Интересно отметить, что сами творцы-создатели никогда не рассматривали
обнаруженные ими новые возможности описания природных явлений как единственно
верные (так, В.Гейзенберг долгое время сомневался в матричной механике и в
трактовке принципа неопределенности, см. [3], А.Эйнштейн всегда был готов
заменить риманову модель пространства-времени другой, в частности, геометрией
абсолютного параллелизма [4], Поль Дирак никогда не рассматривал свое уравнение
как единственно возможное описание "состояний электрона" и т.п.). В догму
сформулированные ими гипотезы-теории возводили уже их последователи,
неспособные, как правило, к генерированию собственных идей.
Психологические аспекты отрицания большинством научного сообщества возможности
полной ревизии сложившихся представлений вполне понятны и в известной мере
являются охранительными. Однако объективно эти взгляды именно сейчас все
заметнее начинают играть реакционную роль, тормозя развитие радикально новых
подходов. Дело в том, что в настоящее время внутри самой науки (как математики,
так и теоретической физики) накоплен огромный потенциал идей и методов, который
может оказаться основой ее внутренней революции. Физика выросла из пеленок и,
используя богатство новых структур, открытых современной математикой (теорию
особенностей, алгебраическую геометрию и топологию, нелинейную динамику и
синергетику и др.), готова совершить качественный скачок и превратиться из
описательной, "констатирующей" науки в своего рода новую Метафизику,
объясняющую происхождение и смысл основных структур и объектов, составляющих
физическую реальность. Манифестом этого нового направления развития физики можно
считать известные слова А.Эйнштейна (см. [4], С.245): "...мы хотим не только
знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и по
возможности достичь цели, может быть утопической и дерзкой на вид, - узнать,
почему природа является именно такой, а не другой".
Для автора, получившего т.н. "классическое" университетское образование, столь
радикальная концепция ранее не являлась близкой. Постепенный переход к ней
произошел после знакомства со структурами типа исключительных алгебр (типа
алгебр кватернионов и октонионов), фрактальными отображениями, теорией
особенностей и исключительными простыми группами. Богатство возможностей и
внутренняя красота этих и других аналогичных структур поражают и составляют
разительный контраст с теми, уже порядком "заезженными" (а часто и математически
некорректными) процедурами (вариационная задача, коммутационные соотношения,
интегрирование по путям), которые использует современная теоретическая физика
(причем использует непоследовательно, эклектически смешивая классические
геометрические и формальные квантовые представления). Сам факт существования
таких исключительных абстрактных структур заставляет задуматься, не они ли
лежат в основе Бытия, не в их ли внутренних свойствах закодирован алгоритм
эволюции и cвойства Вселенной, вплоть до самих понятий времени, материи и
сознания?
В 1980 году автором было предложено определение дифференцируемости функций
кватернионного переменного, явно (и, по-видимому, впервые) учитывающее
определяющее свойство алгебры кватернионов Q - их некоммутативность. Как
следствие, Q-обобщенные уравнения Коши-Римана (ОКР) оказались существенно
нелинейными. При расширении Q до алгебры B комплексных кватернионов
(бикватернионов) уравнения ОКР становились лоренц-инвариантными.
Совокупность этих и других интересных внутренних свойств первичных условий ОКР
наводила на естественную мысль попытаться рассматривать эти уравнения как
основу некоторой единой алгебраической теории поля. Программа построения такой
теории, получившей название алгебродинамики, и предварительные результаты
реализации такого подхода в алгебре B были представлены в монографии [5] и в
статьях [6-8] (там же имеются ссылки на более ранние работы).
Ниже, в разделе 2, мы представляем сводку этих результатов. Несколько
подробнее в разделе 3 рассматривается необычная геометрическая "картина"
физического пространства-времени и материи, к которой приводят первичные
уравнения ОКР в алгебре B. Главными образующими элементами этой картины служат
изотропные геодезические конгруенции - пучки прямых в 3-мерном физическом
пространстве, вдоль которых для каждого из решений уравнений ОКР происходит
"перенос" основных B-полей с одной и той же фундаментальной скоростью (скоростью
света). Что касается материи, то вся она порождается самими прямолинейно
движущимися "световыми элементами" и представлена каустиками (т.е. местами
самопересечения, "уплотнения") лучей основной конгруенции.
В разделе 4 обсуждаются представления о времени, возникающие при рассмотрении
фундаментальных световых конгруенций, и связь этих представлений с работами
других авторов. Подчеркивается фундаментальная роль твисторной структуры
уравнений B-ОКР. Обсуждаются также следующие из основных уравнений связи между
поступательным и внутренним вращательным движением частиц-каустик и ограничения
скорости их трансляционного движения "скоростью света". В заключение, в разделе
5, мы вновь возвращаемся к проблеме взаимоотношений физики и математики и, уже с
учетом расмотренной реализации алгебродинамики, формулируем общие положения
"неопифагорейского" подхода к построению фундаментальных физических теорий -
подхода радикально нового для современной физики и, как представляется,
наиболее перспективного и даже неизбежного в будущем.
2. Алгебраическая теория поля на основе B-обобщениых уравнений
Коши-Римана (уравнений B-ОКР).
В развитой на основе B-ОКР версии алгебродинамики физические поля
рассматриваются как B-дифференцируемые функции бикватернионного переменного
(аналог C-аналитических функций), а сами условия дифференцируемости - как
единственные первичные уравнения полевой динамики. При этом никаких
дополнительных постулатов (лагранжиана, правил квантования и т.п.)
математического или физического характера не делается, т.е. свойства уравнений
ОКР и их решений-полей изучаются сами по себе, вне какой-либо физической
феноменологии!
Как ни странно, оказалось, что рассматриваемые B-поля обладают многими
знакомыми из физики свойствами, в том числе естественной 2-спинорной и
калибровочной структурами. Более того, условия интегрируемости уравнений ОКР
влекут за собой тождественное выполнение уравнений Максвелла и Янга-Миллса на их
решениях1. Структура этих уравнений оказывается также тесно связанной с
исключительной геометрией Вейля-Картана, с изотропными геодезическими
конгруенциями и, через них, - с римановыми метриками типа Керра-Шилда,
определяющими основные физически важные решения уравнений Эйнштейна- Максвелла в
ОТО. Как следствие ОКР, каждая спинорная компонента основного B-поля
удовлетворяет, кроме того, релятивистски-инвариантному уравнению 4-эйконала
(нелинейному аналогу уравнения Лапласа в случае коммутативной C-алгебры).
Исключительно важную роль имеет обнаруженная связь уравнений B-ОКР с твисторами
- геометрическими объектами, введенными в физику Р. Пенроузом [9] и, нестрого
говоря, представляющими собой пары 2-спиноров, связанных между собой и с
точками пространства Минковского линейным образом (через т.н. соотношение
инцидентности, см. раздел 3). Наличие твисторной структуры у уравнений ОКР
позволило получить их общее (аналитическое) решение, сведя их к решению чисто
алгебраических уравнений, геометрически определяющих гладкие поверхности в
проективном твисторном пространстве СР3.
Редукция уравнений ОКР к алгебраическим позволило простым образом генерировать
достаточно сложные их решения, а также и сопоставляемые им решения известных
уравнений поля, в том числе уравнений Максвелла, Эйнштейна и Янга-Миллса. При
этом сингулярности электромагнитного и метрического полей соответствуют точкам
пространства-времени, в которых корни генерирующих алгебраических уравнений
становятся кратными. Причем структура сингулярного множества может быть весьма
сложной, состоящей из большого числа связных компонент разных размерностей
(пространственно 0-, 1- или 2-мерных); множество общего положения - одномерно
("струны").
Такая общая для всех основных полей, определяемых решениями ОКР, сингулярная
структура в случае ее ограниченности в 3-пространстве естественно определяет
некоторый частицеподобный объект, а динамические перестройки этой структуры
могут интерпретироваться как взаимопревращения частиц. При этом никаких
трудностей принципиального характера (расходимостей, нарушений причинности и
т.п.), связанных с сингулярным характером отвечающих частицам решений уравнений
ОКР, в рассматриваемом подходе не возникает, поскольку как "форма" сингулярного
образования, так и его динамика однозначно следуют из самих уравнений ОКР.
Еще одним определяющим свойством исходных уравнений ОКР является их
существенная переопределенность. Как следствие этого, далеко не каждое решение
уравнений Максвелла или Янга-Миллса отвечает какому-либо решению для первичных
B-полей. На этом пути возникают некие "правила отбора" для типов и характеристик
решений уравнений калибровочных и метрического полей, ассоциированных с
решениями уравнений ОКР. В частности, для всех решений допустимые значения
электрического заряда сингулярных образований либо равны по модулю некоторому
минимальному (элементарному), либо целократны ему!
Отметим, что идея объясненения дискретного спектра характеристик частиц как
следствия переопределенности и нелинейности описывающих их классических
уравнений поля принадлежит, судя по всему, А.Эйнштейну, и получила название
сверхпричинности [10]. В рассматриваемом подходе концепция сверхпричинности
проявляется не только в квантованности значений электрического заряда, но и в
нетривиальной динамике сингулярных частицеподобных образований, моделирующей их
взаимодействие и взаимопревращения. Действительно, несмотря на тождественное
выполнение линейных уравнений Максвелла во всем пространстве-времени (кроме
сингулярного подмножества меры нуль), принцип суперпозиции здесь, разумеется,
не выполняется в силу нелинейности и переопределенности исходных уравнений ОКР.
Заметим, что в отличие от стандартных схем типа нелинейной электродинамики мы
имеем здесь ситуацию, близкую к концепции т.н. "скрытой нелинейности",
развиваемой в ряде современных работ [11].
Фундаментальное (стационарное, аксиально-симметричное) решение уравнений B-ОКР
(модель электрона?) имеет кольцеобразную сингулярность и отвечает наименьшему
возможному (элементарному) электрическому заряду, а в остальном является полным
аналогом решения Керра-Ньюмена (КН) в ОТО. Из сопоставления с ним это решение
наделяется массой и спином, причем из ОТО известно, что гиромагнитное отношение
для решения КН имеет значение, соответствующее дираковской частице! Т.о.
решение КН правильно воспроизводит все основные характеристики электрона, а в
нашем подходе к тому же фиксирует значение его заряда.
Примеры нетривиальной топологической структуры и динамики cингулярных
частицеподобных образований приведены и обсуждаются в работах [12-14]. Помимо
фундаментального "керровского" было найдено, в частности, бисингулярное решение
с ЭМ-полем, воспроизводящим известное решение Борна для равноускоренно
движущегося заряда (величина которого, однако, здесь квантована и равна заряду
фундаментального решения!). Особенный интерес представляет его комплексная,
электрически нейтральная модификация с кольцеобразной сингулярностью,
перестраивающейся в тор [13]. Обнаружены также решения, не обладающие аксиальной
симметрией [14]. Затетим, что к настоящему времени уже получены решения с
намного более сложной, многосингулярной структурой, явным образом и на
классическом уровне описывающие процессы аннигиляции, рождения пар,
поглощения/испускания сингулярных волновых фронтов, процессы "распада".
В завершение краткого обзора основных полученных к настоящему времени
результатов подчеркнем еще раз, что все они являются непосредственным следствием
одной лишь структуры уравнений B-ОКР и имеют чисто алгебраическую природу.
Однако, с другой стороны, свойства и роль возникающих в алгебродинамике аналогов
известных физических структур существенно и неожиданно отличаются от этих
последних. Помимо необычной роли уравнений Максвелла ("нелинейность без
нелинейности") и обнаружения у них широкого класса сингулярных решений с
автоматически квантованными (за счет механизма "скрытой нелинейности")
значениями заряда можно еще отметить:
а) новый вид калибровочной инвариантности, имеющей место для уравнений ОКР (т.н.
"слабой", с калибровочным параметром, зависящим от координат лишь через
компоненты преобразуемого решения, см.[12,13]);
б) новую форму представления уравнений Максвелла через т.н. условия "комплексной
самодуальности" [12,15], сводящие их решение к решению 3-х уравнений 1-го
порядка по электромагнитным потенциалам;
в) новую концепцию источников физических полей, связанную с рассмотрением
сингулярностей полей как точек ветвления отвечающих им (производящих)
многозначных комплексных функций и обобщающую принятую в настоящее время
концепцию (-образного источника [14] (см. также [16-18]) и др.
Все эти неожиданные и интересные физические представления в алгебродинамике не
привносятся извне, а генерируются внутренними свойствами самой абстрактной
математической структуры, положенной в основу рассмотрения. Мы вернемся к
рассмотрению этих вопросов в заключительном разделе, а теперь перейдем к
несколько более подробному обсуждению представлений о свете и материи и времени,
возникающих при анализе свойств и решений уравнений B-ОКР.
3. Алгебраически генерируемые физические поля и частицы-особенности.
Основные условия B-дифференцируемости В-значных функций F: ВRВ бикватернионного
(B-) переменного Z(В имеют вид [5,13,15]:
(1)
где (() - умножение B(BRB в алгебре бикватернионов (изоморфной полной алгебре
комплексных 2(2 матриц); (,(: BRB - т.н. полупроизводные основной функции
F(Z) (см. подробнее [13,15]). Ограничиваясь рассмотрением подпространства
эрмитовых матриц ZRX, X(X+ (с индуцированной определителем псевдоевклидовой
метрикой Минковского) и наиболее важного исследованного случая
пропорциональности одной из полупроизводных, например ((Z), основной функции
F(Z), редуцируем условия (1) к лоренц-инвариантной системе уравнений вида
d(=((dX((,
(2)
где ((X) - один из столбцов матрицы компонент основной функции F(X). Т.о. каждой
паре {((X),((X)}, удовлетворяющих (переопределенной) системе уравнений (2),
соответствует некоторое решение основных условий B-дифференцируемости (1). По
своим трансформационным свойствам эти величины представляют собой комплексное 4векторное
и 2-спинорное поля соответственно. При этом компоненты матрицы (,
интерпретируемые как 4-потенциалы, определяют напряженности (С-значного)
электромагнитного поля, которые вследствие условий интегрируемости (2)
тождественно удовлетворяют в регулярной области однородным уравнениям Максвелла
(см. подробнее [5,15]).
Для простоты в дальнейшем именно эти редуцированные уравнения (2) будем
называть B-обобщенными уравнениями Коши-Римана (уравнениями B-ОКР). Компоненты
матрицы полупроизводной ( (т.е. электромагнитные потенциалы) могут быть
алгебраически выражены из уравнений (2) через компоненты основного спинора ( и
их производные; для последних получим тогда нелинейные уравнения (аналог
уравнений Коши-Римана в комплексной алгебре) [12,15], общее (аналитическое)
решение которых может быть представлено в неявном виде как решение системы двух
алгебраических уравнений
(3)
где ((С), C=1,2 - две (произвольные независимые) голоморфные функции 4-х
комплексных аргументов - 2-х компонент спинора ( и 2-х компонент спинора
(4)
инцидентного (. Здесь эрмитова матрица X = X+ = {u, w // w( v } = {ct + z, xiy
//x + iy, ct-z} представляет собой спинорный аналог 4-вектора координат х( .
Разрешая (в неособых точках) систему уравнений (1) относительно
компонент спинора ( для произвольно выбранных генерирующих функций ((С),
получаем полевое распределение ((u,w,w(,v)=((x,y,z,t). При этом каждая
спинорная компонента полученного решения будет тождественно удовлетворять
уравнению эйконала, а их отношение - линейному волновому уравнению [12,13].
Для отношения спинорных компонент G(u,w,w(,v) система (3) еще более
упрощается, редуцируясь к одному алгебраичеcкому уравнению вида2
(5)
где два последних аргумента представляют собой компоненты спинора ( = X(,
инцидентного спинору (={1,G}. Отметим, что в работе [12] получено явное
представление для спинора электромагнитного поля F(AB), сопоставляемого решениям
уравнений ОКР или, соответственно, - решениям алгебраического уравнения (5):
(6)
где , а символами , А,В=1,2 обозначены производные функции ( по (твисторным)
аргументам (1 и (2 соответственно. Замечательно, что для любой генерирующей
функции определеленные таким образом напряженности электромагнитного поля
тождественно удовлетворяют (в области регулярности) вакуумным уравнениям
Максвелла!
С другой стороны, из (5) следует, что сингулярности электромагнитного
поля соответствуют условию обращения в нуль полной производной
(7)
определяющему геометрическое место точек, в которых уравнение (5) имеет кратные
корни. Пусть в каждый конечный момент времени структура сингулярного множества
(7) компактна (ограничена в 3-пространстве); тогда такое решение определяет
некоторый частицеподобный объект - источник поля. Определим электрический заряд
такого сингулярного образования обычным образом, т.е. через поток вектора
электрической напряженности поля через замкнутую поверхность, окружающую
сингулярность. В работах [5,15] показано, что при этом заряд любого решения
уравнения (5), определяемый через напряженности (6), либо равен нулю, либо
целократен по модулю некоторому минимальному (элементарному). Т.о. сама по себе
простая алгебраическая конструкция, задаваемая соотношениями (5), (6) генерирует
решения уравнений Максвелла с квантованными значениями сингулярных источников!
Заметим, что попытки рассматривать частицы как особенности решений
дифференциальных уравнений, в том числе уравнений Максвелла, предпринимались еще
в начале века, в частности Г.Бейтманом (см.[20]). Л. де Бройль пытался дать
классическое объяснение корпускулярно-волновому дуализму частиц в рамках своей
концепции "двойного решения" (особенность, движение которой "гидируется"
регулярной и стохастически изменяющейся частью полевого распределения). В
последнее время концепция частиц как особенностей развивается А.М.Виноградовым
[16,17] (в рамках т.н. "вторично квантованного" дифференциального исчисления ).
Вообще в физике уже почти 100 лет имеет место парадоксальная ситуация,
когда с одной стороны, основным объектом исследования остается модель точечной
(-образной частицы3, ответственная, как принято считать, за все трудности
квантовой теории поля (расходимости, нарушения причинности и т.п.). С другой
стороны, методы работы с сингулярными объектами, принятые в физике, оказались
совершенно некорректными , как это становится очевидным по мере развития,
например, теории катастроф. В частности, оказалось, что само понятие источника
поля, определяемое в физике через обобщенные (-функции, является далеко не самым
общим и физически интересным: современная теория дифференциальных уравнений
приводит вместо этого к неизбежному введению глобально многозначных решений,
являющимся для нелинейных уравнений естственным аналогом решений, представляемых
обобщенными функциями [17,18]. Отметим, что в рамках развиваемого
алгебродинамического формализма многозначные решения возникают изначально как
различные ветви комплекснозначных решений неявного алгебраического уравнения
(5).
Опрелелим теперь на решениях уравнений ОКР, задаваемых (5),
действительное единичное векторное поле (поле направлений) с компонентами
, (8)
для которого дифференцированием уравнения (5) по координатам получим уравнение
(9)
означающее, что вектор переносится вдоль прямых, определяемых его собственным
направлением в каждой точке 3-пространства, с фундаментальной и всюду
постоянной скоростью "скоростью света" с. С точки зрения псевдоевклидовой 4геометрии
пространства Минковского мы имеем дело с изотропными геодезическими
конгруенциями - пучками прямых, плотно заполняющими пространство-время.
Условие (7) кратности корней уравнения (5) отвечает каустикам, т.е.
огибающим системы лучей конгруенции. Именно на "протяженных фокусах" -
каустиках обращается в бесконечность напряженность электромагнитного поля (6),
и, таким образом, именно (ограниченные в пространстве) каустики являются
моделью частиц в данном подходе, обладая квантованным электрическим зарядом и
динамикой, определяемой видом регулярной части соответствующей световой
конгруенции. Естественно предположить, что в таком случае известная
классификация каустик как особенностей дифференцируемых отображений [19] может
иметь непосредственное отношение к классификации элементарных частиц!
На самом деле представление о зарядах как о фокальных точках некоторых
световых конгруе
...Закладка в соц.сетях
