Жанр: Учеба
Программирование в теоремах и задачах
...аем равным 1 для всех k "= 0.) Очевидно, P(n) =
R(n,n). Все разбиения n на слагаемые, не превосходящие k, разобьем
на группы в зависимости от максимального слагаемого
(обозначим его i). Число R(n,k) равно сумме (по всем i от 1 до
k) количеств разбиений со слагаемыми не больше k и максимальным
слагаемым, равным i. А разбиения n на слагаемые не более k с
первым слагаемым, равным i, по существу представляют собой разбиения
n - i на слагаемые, не превосходящие i (при i "= k). Так
что
R(n,k) = сумма по i от 1 до k чисел R(n-i,i) при k "= n;
R(n,k) = R(n,n) при k "= n,
что позволяет заполнять таблицу значений функции R.
2.7.2 (Счастливые билеты). (Задача предлагалась на Всесоюзной
олимпиаде по программированию 1989 года). Последовательность
из 2n цифр (каждая цифра от 0 до 9) называется счастливым билетом,
если сумма первых n цифр равна сумме последних n цифр. Найти
число счастливых последовательностей данной длины.
Решение. (Сообщено одним из участников олимпиады; к сожалению,
не могу указать фамилию, так как работы проверялись зашифрованными.)
Рассмотрим более общую задачу: найти число последовательностей,
где разница между суммой первых n цифр и суммой
последних n цифр равна k (k = -9n,..., 9n). Пусть T(n, k) - число
таких последовательностей.
Разобьем множество таких последовательностей на классы в
зависимости от разницы между первой и последней цифрами. Если
эта разница равна t, то разница между суммами групп из оставшихся
n-1 цифр равна k-t. Учитывая, что пар цифр с разностью t бывает
10 - (модуль t), получаем формулу
T(n,k) = сумма по t от -9 до 9 чисел (10-|t|) * T(n-1, k-t).
(Некоторые слагаемые могут отсутствовать, так как k-t может быть
слишком велико.)
Глава 3. Обход дерева. Перебор с возвратами.
3.1. Ферзи, не бьющие друг друга: обход дерева позиций
В предыдущей главе мы рассматривали несколько задач одного
и того же типа: "перечислить все элементы некоторого множества
A". Схема решения была такова: на множестве A вводился порядок и
описывалась процедура перехода от произвольного элемента множества
A к следующему за ним (в этом порядке). Такую схему не
всегда удается реализовать непосредственно, и в этой главе мы
рассмотрим другой полезный прием перечисления всех элементов некоторого
множества. Его называют "поиск с возвратами", "метод
ветвей и границ", "backtracking". На наш взгляд наиболее точное
название этого метода - обход дерева.
3.1.1. Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной
доске n на n, при которых они не бьют друг друга.
Решение. Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять
по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n)
произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи
могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем
будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n
стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением
ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение
их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее
та позиция, в которой ферзь расположен левее.
Дерево позиций для
n = 2
Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых
ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево"
и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что:
если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить
дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем
прекращать построение дерева в этом направлении.
Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления
верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет
рассматривать только допустимые позиции.
Дерево допустимых
позиций для n = 3
Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева
и (2) реализацию дерева допустимых позиций.
Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать,
что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится
в одной из вершин дерева (вершины изображены на рисунке кружочками).
Он умеет выполнять команды:
вверх_налево (идти по самой левой
из выходящих вверх стрелок)
вправо (перейти в соседнюю справа
вершину)
вниз (спуститься вниз на один уро-
вень)
вверх_налево
вправо
вниз
и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд,
называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу"
(последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что
команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не
к "двоюродному".
Так команда "вправо"
НЕ действует!
Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что
его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет
стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей
шахматной задачи команде обработать будет соответствовать
проверка и печать позиции ферзей.
Доказательство правильности приводимой далее программы использует
такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в
одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на
три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь
из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать
влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя
до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее
Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее
и над Роботом".
Нам понадобится такая процедура:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
| {дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)}
begin
| {инвариант: ОЛ}
| while есть_сверху do begin
| | вверх_налево
| end
| {ОЛ, Робот в листе}
| обработать;
| {ОЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, листья не обработаны
надо: Робот в корне, листья обработаны
{ОЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОЛН}
while есть_снизу do begin
| if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа}
| | вправо;
| | {ОЛ}
| | вверх_до_упора_и_обработать;
| end else begin
| | {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
| | вниз;
| end;
end;
{ОЛН, Робот в корне =" все листья обработаны}
Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота
(сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу -
утверждения о результате ее выполнения):
(1) {ОЛ, не есть_сверху} (2) {ОЛ}
обработать вверх_налево
{ОЛН} {ОЛ}
(3) {есть_справа, ОЛН} (4) {не есть_справа, ОЛН}
вправо вниз
{ОЛ} {ОЛН}
3.1.2. Доказать, что приведенная программа завершает работу
(на любом конечном дереве).
Решение. Процедура вверх_налево завершает работу (высота
Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает
бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно,
начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается.
А это возможно, только если Робот все время спускается вниз.
Противоречие. (Об оценке числа действий см. далее.)
3.1.3. Доказать правильность следующей программы обхода дерева:
var state: (WL, WLU);
state := WL;
while есть_снизу or (state "" WLU) do begin
| if (state = WL) and есть_сверху then begin
| | вверх;
| end else if (state = WL) and not есть_сверху then begin
| | обработать; state := WLU;
| end else if (state = WLU) and есть_справа then begin
| | вправо; state := WL;
| end else begin {state = WLU, not есть_справа, есть_снизу}
| | вниз;
| end;
end;
Решение. Инвариант цикла:
state = WL =" ОЛ
state = WLU =" ОЛН
Доказательство завершения работы: переход из состояния ОЛ в ОЛН
возможен только при обработке вершины, поэтому если программа
работает бесконечно, то с некоторого момента значение state не
меняется, что невозможно.
3.1.4. Решить задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы
обрабатывались все вершины (не только листья).
Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y
относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня
в y. Он может:
(а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);
(б) свернуть налево с пути в x (y левее x);
(в) пройти через x (y над x);
(г) свернуть направо с пути в x (y правее x);
В частности, сама вершина x относится к категории (в). Условия
теперь будут такими:
(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;
(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над.
Вот как будет выглядеть программа:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
| {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}
begin
| {инвариант: ОНЛ}
| while есть_сверху do begin
| | обработать
| | вверх_налево
| end
| {ОНЛ, Робот в листе}
| обработать;
| {ОНЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, ничего не обработано
надо: Робот в корне, все вершины обработаны
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН}
while есть_снизу do begin
| if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}
| | вправо;
| | {ОНЛ}
| | вверх_до_упора_и_обработать;
| end else begin
| | {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
| | вниз;
| end;
end;
{ОНЛН, Робот в корне =" все вершины обработаны}
3.1.5. Приведенная только что программа обрабатывает вершину
до того, как обработан любой из ее потомков. Как изменить ее,
чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды:
один раз до, а другой раз после всех своих потомков? (Листья
по-прежнему обрабатываются по разу.)
Решение. Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже
обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу,
останые по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать
"ниже обработано по разу, левее и над - полностью".
Программа будет такой:
procedure вверх_до_упора_и_обработать
| {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}
begin
| {инвариант: ОНЛ}
| while есть_сверху do begin
| | обработать
| | вверх_налево
| end
| {ОНЛ, Робот в листе}
| обработать;
| {ОНЛН}
end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, ничего не обработано
надо: Робот в корне, все вершины обработаны
{ОНЛ}
вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН}
while есть_снизу do begin
| if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}
| | вправо;
| | {ОНЛ}
| | вверх_до_упора_и_обработать;
| end else begin
| | {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}
| | вниз;
| | обработать;
| end;
end;
{ОНЛН, Робот в корне =" все вершины обработаны полностью}
3.1.6. Доказать, что число операций в этой программе по порядку
равно числу вершин дерева. (Как и в других программах, которые
отличаются от этой лишь пропуском некоторых команд "обработать".)
Указание. Примерно каждое второе действие при исполнении
этой программы - обработка вершины, а каждая вершина обрабатывается
максимум дважды.
Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем
представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива
c: array [1..n] of 1..n (c [i] - координаты ферзя на i-ой
горизонтали; при i " k значение c [i] роли не играет). Предполагается,
что все позиции допустимы (если убрать верхнего ферзя,
остальные не бьют друг друга).
program queens;
| const n = ...;
| var
| k: 0..n;
| c: array [1..n] of 1..n;
|
| procedure begin_work; {начать работу}
| begin
| | k := 0;
| end;
|
| function danger: boolean; {верхний ферзь под боем}
| | var b: boolean; i: integer;
| begin
| | if k "= 1 then begin
| | | danger := false;
| | end else begin
| | | b := false; i := 1;
| | | {b "=" верхний ферзь под боем ферзей с номерами " i}
| | | while i "" k do begin
| | | | b := b or (c[i]=c[k]) {вертикаль}
| | | | or (abs(c[[i]-c[k]))=abs(i-k)); {диагональ}
| | | | i := i+ 1;
| | | end;
| | | danger := b;
| | end;
| end;
|
| function is_up: boolean {есть_сверху}
| begin
| | is_up := (k " n) and not danger;
| end;
|
| function is_right: boolean {есть_справа}
| begin
| | is_right := (k " 0) and (c[k] " n);
| end;
| {возможна ошибка: при k=0 не определено c[k]}
|
| function is_down: boolean {есть_снизу}
| begin
| | is_up := (k " 0);
| end;
|
| procedure up; {вверх_налево}
| begin {k " n}
| | k := k + 1;
| | c [k] := 1;
| end;
|
| procedure right; {вправо}
| begin {k " 0, c[k] " n}
| | c [k] := c [k] + 1;
| end;
|
| procedure down; {вниз}
| begin {k " 0}
| | k := k - 1;
| end;
|
| procedure work; {обработать}
| | var i: integer;
| begin
| | if (k = n) and not danger then begin
| | | for i := 1 to n do begin
| | | | write ('"', i, ',' , c[i], '" ');
| | | end;
| | | writeln;
| | end;
| end;
|
| procedure UW; {вверх_до_упора_и_обработать}
| begin
| | while is_up do begin
| | | up;
| | end
| | work;
| end;
|
begin
| begin_work;
| UW;
| while is_down do begin
| | if is_right then begin
| | | right;
| | | UW;
| | end else begin
| | | down;
| | end;
| end;
end.
3.1.7. Приведенная программа тратит довольно много времени
на выполнение проверки есть_сверху (проверка, находится ли
верхний ферзь под боем, требует числа действий порядка n). Изменить
реализацию операций с деревом позиций так, чтобы все три
проверки есть_сверху/справа/снизу и соответствующие команды требовали
бы количества действий, ограниченного не зависящей от n
константой.
Решение. Для каждой вертикали, каждой восходящей и каждой
нисходящей диагонали будем хранить булевское значение - сведения
о том, находится ли на этой линии ферзь (верхний ферзь не учитывается).
(Заметим, что в силу допустимости позиции на каждой из
линий может быть не более одного ферзя.).
3.2. Обход дерева в других задачах.
3.2.1. Использовать метод обхода дерева для решения следующей
задачи: дан массив из n целых положительных чисел
a[1]..a[n] и число s; требуется узнать, может ли число s быть
представлено как сумма некоторых из чисел массива a. (Каждое
число можно использовать не более чем по одному разу.)
Решение. Будем задавать k-позицию последовательностью из k
булевских значений, определяющих, входят ли в сумму числа
a[1]..a[k] или не входят. Позиция допустима, если ее сумма не
превосходит s.
Замечание. По сравнению с полным перебором всех (2 в степени
n) подмножеств тут есть некоторый выигрыш. Можно также предварительно
отсортировать массив a в убывающем порядке, а также
считать недопустимыми те позиции, в которых сумма отброшенных
членов больше, чем разность суммы всех членов и s. Последний
приём называют "методом ветвей и границ". Но принципиального
улучшения по сравнению с полным перебором тут не получается (эта
задача, как говорят, NP-полна, см. подробности в книге Ахо,
Хопкрофта и Ульмана "Построение и анализ вычислительных алгоритмов").
Традиционное название этой задачи - "задача о рюкзаке"
(рюкзак общей грузоподъемностью s нужно упаковать под завязку,
располагая предметами веса a[1]..a[n]). См. также в главе 7
(раздел о динамическом программировании) алгоритм её решения,
полиномиальный по n+s.
3.2.2. Перечислить все последовательности из n нулей, единиц
и двоек, в которых никакая группа цифр не повторяется два
раза подряд (нет куска вида XX).
3.2.3. Аналогичная задача для последовательностей нулей и
единиц, в которых никакая группа цифр не повторяется три раза
подряд (нет куска вида XXX).
К этой же категории относятся задачи типа "можно ли сложить
данную фигуру из пентамино" и им подобные. В них важно умелое
сокращение перебора (вовремя распознать, что имеющееся расположение
фигурок уже противоречит требованиям, и по этой ветви поиск
не продолжать).
4.1. Квадратичные алгоритмы.
4.1.1. Пусть a[1], ..., a[n] - целые числа. Требуется
построить массив b[1], ..., b[n], содержащий те же числа, для
которых b[1] "= ... "= b[n].
Замечание. Среди чисел a[1]...a[n] могут быть равные. Требуется,
чтобы каждое целое число входило в b[1]...b[n] столько
же раз, сколько и в a[1]...a[n].
Решение. Удобно считать, что числа a[1]..a[n] и b[1]..b[n]
представляют собой начальное и конечное значения массива x. Требование
"a и b содержат одни и те же числа" будет заведомо выполнено,
если в процессе работы мы ограничимся перестановками
элементов x.
k := 0;
{k наименьших элементов массива x установлены на свои места}
while k "" n do begin
| s := k + 1; t := k + 1;
| {x[s] - наименьший среди x[k+1]...x[t] }
| while t""n do begin
| | t := t + 1;
| | if x[t] " x[s] then begin
| | | s := t;
| | end;
| end;
| {x[s] - наименьший среди x[k+1]..x[n] }
| ... переставить x[s] и x[k+1];
| k := k + 1;
end;
4.1.2. Дать другое решение задачи сортировки, использующее
инвариант {первые k элементов упорядочены: x[1] "= ... "= x[k]}
Решение.
k:=1
{первые k элементов упорядочены}
while k "" n do begin
| {k+1-ый элемент продвигается к началу, пока не займет
| надлежащего места }
| t := k+1;
| {x[1] "= ... "= x[t-1] и x[t-1], x[t] "= ... "= x[k+1] }
| while (t " 1) and (x[t] " x[t-1]) do begin
| | ... поменять x[t-1] и x[t];
| | t := t - 1;
| end;
end;
Замечание. Дефект программы: при ложном выражении (t " 1)
проверка x[t] " x[t-1] требует несуществующего значения x[0].
Оба предложенных решения требуют числа действий, пропорционального
n*n. Существуют более эффективные алгоритмы.
4.2. Алгоритмы порядка n log n.
4.2.1. Предложить алгоритм сортировки, число действий которого
было бы порядка n log n, то есть не превосходило бы
C*n*log(n) для некоторого C и для всех n.
Мы предложим два решения.
Решение 1. (сортировка слиянием).
Пусть k - положительное целое число. Разобьем массив
x[1]..x[n] на отрезки длины k. (Первый - x[1]..x[k], затем
x[k+1]..x[2k] и т.д.) Последний отрезок будет неполным, если n
не делится на k. Назовем массив k-упорядоченным, если каждый из
этих отрезков упорядочен. Любой массив 1-упорядочен. Если массив
k-упорядочен и n"=k, то он упорядочен.
Мы опишем, как преобразовать k-упорядоченный массив в
2k-упорядоченный (из тех же элементов). С помощью этого преобразования
алгоритм записывается так:
k:=1;
{массив x является k-упорядоченным}
while k " n do begin
| .. преобразовать k-упорядоченный массив в 2k-упорядоченный;
| k := 2 * k;
end;
Требуемое преобразование состоит в том,что мы многократно
"сливаем" два упорядоченных отрезка длины не больше k в один
упорядоченный отрезок. Пусть процедура слияние (p,q,r: integer)
при p "=q "= r сливает отрезки x[p+1]..x[q] и x[q+1]..x[r] в
упорядоченный отрезок x[p+1]..x[r] (не затрагивая других частей
массива x).
p q r
-------|---------------|---------------|-------
| упорядоченный | упорядоченный |
-------|---------------|---------------|-------
|
|
V
-------|-------------------------------|-------
| упорядоченный |
-------|-------------------------------|-------
Тогда преобразование k-упорядоченного массива в 2k-упорядоченный
осуществляется так:
t:=0;
{t кратно 2k или t = n, x[1]..x[t] является
2k-упорядоченным; остаток массива x не изменился}
while t + k " n do begin
| p := t;
| q := t+k;
| ...r := min (t+2*k, n); {в паскале нет функции min }
| слияние (p,q,r);
| t := r;
end;
Слияние требует вспомогательного массива для записи результатов
слияния - обозначим его b. Через p0 и q0 обозначим номера последних
элементов участков, подвергшихся слиянию, s0 - последний
записанный в массив b элемент. На каждом шаге слияния производится
одно из двух действий:
b[s0+1]:=x[p0+1];
p0:=p0+1;
s0:=s0+1;
или
b[s0+1]:=x[q0+1];
q0:=q0+1;
s0:=s0+1;
Первое действие (взятие элемента из первого отрезка) может производиться
при двух условиях:
(1) первый отрезок не кончился (p0 " q);
(2) второй отрезок кончился (q0 = r) или не кончился, но
элемент в нем не меньше [(q0 " r) и (x[p0+1] "= x[q0+1])].
Аналогично для второго действия. Итак, получаем
p0 := p; q0 := q; s0 := p;
while (p0 "" q) or (q0 "" r) do begin
| if (p0 " q) and ((q0 = r) or ((q0 " r) and
| | (x[p0+1] "= x[q0+1]))) then begin
| | b [s0+1] := x [p0+1];
| | p0 := p0+1;
| | s0 := s0+1;
| end else begin
| | {(q0 " r) and ((p0 = q) or ((p0"q) and
| | (x[p0+1] "= x[q0+1])))}
| | b [s0+1] := x [q0+1];
| | q0 := q0 + 1;
| | s0 := s0 + 1;
| end;
end;
(Если оба отрезка не кончены и первые невыбранные элементы в них
равны, то допустимы оба действия; в программе выбрано первое.)
Программа имеет привычный дефект: обращение к несуществующим
элементам массива при вычислении булевских выражений.
Решение 2 (сортировка деревом).
Нарисуем "полное двоичное дерево" - картинку, в которой
снизу один кружок, из него выходят стрелки в два других, из каждого
- в два других и так далее:
o o o o
\/ \/
o o
\ /
o
Будем говорить, что стрелки ведут "от отцов к сыновьям": у
каждого кружка два сына и один отец (если кружок не верхний).
Предположим для простоты, что количество подлежащих сортировке
чисел есть степень двойки, и они могут заполнить один из рядов
целиком. Запишем их туда. Затем заполним часть дерева под ним по
правилу:
число в кружке = минимум из чисел в кружках-сыновьях
Тем самым в корне дерева (нижнем кружке) будет записано минимальное
число во всем массиве.
Изымем из сортируемого массива минимальный элемент. Для
этого его надо вначале найти. Это можно сделать, идя от корня:
от отца переходим к тому сыну, где записано то же число. Изъяв
минимальный элемент, заменим его символом "бесконечность" и
скорректируем более низкие ярусы (для этого надо снова пройти
путь к корню). При этом считаем, что минимум из n и бесконечности
равен n. Тогда в корне появится второй по величине элемент,
мы изымаем его, заменяя бесконечностью и корректируя дерево. Так
постепенно мы изымем все элементы в порядке возрастания, пока в
корне не останется бесконечность.
При записи этого алгоритма полезно нумеровать кружочки числами
1, 2, ...: сыновьями кружка номер n являются кружки 2*n и
2*n+1. Подробное изложение этого алгоритма мы опустим, поскольку
мы изложим более эффективный вариант, не требующий дополнительной
памяти, кроме конечного числа переменных (в дополнении к
сортируемому массиву).
Мы будем записывать сортируемые числа во всех вершинах дерева,
а не только на верхнем уровне. Пусть x[1]..x[n] - массив,
подлежащий сортировке. Вершинами дерева будут числа от 1 до n; о
числе x[i] мы будем говорить как о числе, стоящем в вершине i. В
процессе сортировки количество вершин дерева будет сокращаться.
Число вершин текущего дерева будем хранить в переменной k. Таким
образом, в процессе работы алгоритма массив x[1]..x[n] делится
на две части: в x[1]..x[k] хранятся числа на дереве, а в x[k+1]
.. x[n] хранится уже отсортированная в порядке возрастания часть
массива - элементы, уже занявшие свое законное место.
На каждом шаге алгоритм будет изымать максимальный элемент
дерева и помещать его в отсортированную часть, на освободившееся
в результате сокращения дерева место.
Договоримся о терминологии. Вершинами дерева считаются числа
от 1 до текущего значения переменной k. У каждой вершины s
могут быть сыновья 2s и 2s+1. Если оба этих числа больше k, то
сыновей нет; такая вершина называется листом. Если 2s=k, то вершина
s имеет ровно одного сына (2s).
Для каждого s из 1..k рассмотрим "поддерево" с корнем в s:
оно содержит вершину s и всех ее потомков (сыновей, сыновей сыновей
и т.д. - до тех пор, пока мы не выйдем из отрезка 1..k).
Вершину s будем называть регулярной, если стоящее в ней число -
максимальный элемент s-поддерева; s-поддерево назовем регулярным,
если все его вершины регулярны. (В частности, любой лист
образует регулярное одноэлементное поддерево.)
Схема алгоритма такова:
k:= n
... Сделать 1-поддерево регулярным;
{x[1],..,x[k] "= x[k+1] "= ... "= x[n]; 1-поддерево регулярно,
в частности, x[1] - максимальный элемент среди x[1]..x[k]}
while k "" 1 do begin
| ... обменять местами x[1] и x[k];
| k := k - 1;
| {x[1]..x[k-1] "= x[k] "=..."= x[n]; 1-поддерево регу-
| лярно везде, кроме, возможно, самого корня }
| ... восстановить регулярность 1-поддерева всюду
end;
В качестве вспомогательной процедуры нам понадобится процедура
восстановления регулярности s-поддерева в корне. Вот она:
{s-поддерево регулярно везде, кроме, возможно, корня}
t := s;
{s-поддерево регулярно везде, кроме, возможно, вершины t}
while ((2*t+1 "= k) and (x[2*t+1] " x[t])) or
| ((2*t "= k) and (x[2*t] " x[t])) do begin
| if (2*t+1 "= k) and (x[2*t+1] "= x[2*t]) then begin
| | ... обменять x[t] и x[2*t+1];
| | t := 2*t + 1;
| end else begin
| | ... обменять x[t] и x[2*t];
| | t := 2*t;
| end;
end;
Чтобы убедиться в правильности этой процедуры, посмотрим на
нее повнимательнее. Пусть в s-поддереве все вершины, кроме разве
что вершины t, регулярны. Рассмотрим сыновей вершины t. Они регулярны,
и потому содержат наибольшие числа в своих поддеревьях.
Таким образом, на роль наибольшего числа в t-поддереве могут
претендовать число в самой вершине t и числа в ее сыновьях. (В
первом случае вершина t рег
...Закладка в соц.сетях
