Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент

Малинецкий Г.Г.
Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику
(М.: Эдиториал УССР, 2001)
Аннотация
Книга представляет собой введение в нелинейную динамику, синергетику и другие области "нелинейной науки". В ней наводятся мосты между традиционными естественнонаучными дисциплинами, математическими курсами и фундаментальными проблемами, над которыми сейчас работают ученые.
Книгу отличает ясное и наглядное изложение материала, большое количество иллюстраций. В ней содержится около сотни задач различных уровней сложности. В основу книги легли вводные курсы нелинейной динамики и математического моделирования, читавшиеся в течение ряда лет в МГУ и МФТИ, а также опыт работы группы ученых Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов, специалистов в смежных областях, на всех, кого интересуют идеи, перспективы, методы и проблемы синергетики.
Оглавление
Предисловие

Глава 1.

Математическое моделирование в современном мире и нелинейные явления

Глава 2.

Линейные математические модели

Глава 3.

Простейшие нелинейные модели

Глава 4.

Аттракторы уравнения x'=v(x)

Глава 5.

Элементы теории бифуркаций

Глава 6.

Идеи теории катастроф

Глава 7.

Простейшие системы с дискретным временем

Глава 8.

Автоколебания и предельные циклы

Глава 9.

Топологические методы в исследовании нелинейных систем
Предисловие
Основным препятствием для широкого использования математического моделирования и вычислительного эксперимента в науке, технике, управлении является недостаток квалифицированных специалистов. Решение ряда крупных проблем сдерживается не отсутствием компьютеров, а недостатком коллективов, работающих на современном уровне.
Требования, предъявляемые к специалисту в области математического моделирования, весьма высоки и вместе с тем противоречивы. С одной стороны, он должен быть профессионалом, глубоко понимающим достаточно узкую конкретную область исследований. С другой стороны, обычно ему приходится выступать не как исполнителю, а как ученому, который видит проблему в целом и способен уточнить, а иногда и радикально изменить постановку задачи, предложенную физиками, химиками или биологами. Работа в области математического моделирования предполагает своеобразный стиль мышления, в котором глубина и конкретность сочетаются с широтой и пониманием общих идей.
Кроме того, успех в математическом моделировании при решении большинства серьезных задач опирается, как на трех китов, на триаду: модель-алгоритм-программа.
Поэтому, чтобы верно наметить стратегию исследований, нужно хорошо представлять имеющийся инструментарий и основные достижения в каждой из областей. Это очень важно, поскольку, например, вычислительная математика сегодня все чаще выступает не только как инструмент, но и как источник новых идей в моделировании, физике, естествознании. На эту связь неоднократно обращается внимание в книге.
Центральным моментом при решении многих крупных проблем, начиная с совершенствования химической технологии и проблемы управляемого термоядерного синтеза и кончая актуальными задачами квантовой теории поля и созданием нового поколения компьютеров, является анализ нелинейных явлений. В обширной области, часто называемой сейчас нелинейной наукой, или нелинейной динамикой, возникли свои оригинальные подходы, новые идеи и методы. Цель настоящей книги - познакомить студентов старших курсов, аспирантов и заинтересованных специалистов с этой дисциплиной.
В 70-х годах началась и продолжается до настоящего времени научная революция, связанная с появлением новой технологии научных исследований - вычислительного эксперимента. Ее следует рассматривать как новую ступень в развитии математического моделирования, пронизывающего большинство областей науки.
Главное из того, что дал вычислительный эксперимент, - возможность анализировать нелинейные явления в физике, химии, биологии, социологии - привело к рождению новых идей, теорий, методов, к развитию междисциплинарных подходов. Это, в свою очередь, помогло сформулировать новые понятия и открыть замечательные явления природы. По-видимому, наиболее удивительное в области моделирования состоит в том, что небольшое число сравнительно простых математических моделей дает ключ к пониманию и исследованию огромного количества различных явлений. Таким моделям - их часто называют базовыми - а также концепциям, родившимся при их анализе, и посвящена эта книга.
В ее основу положен материал лекций и семинаров, которые в течение ряда лет проводились на кафедре численных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, а также в МФТИ. Опыт работы с аспирантами и старшекурсниками показал, что у многих из них есть существенный пробел в образовании. Разобравшись в каких-то частных вопросах, сдав множество общих и специальных курсов, они слабо представляют область, в которой им предстоит работать, взаимосвязи между моделями, алгоритмами и современными проблемами. За формализмом и конкретными задачами они иногда не видят идей и контекста, в котором такие задачи имеют смысл. Это затрудняет чтение оригинальной научной литературы и порой довольно долго не позволяют начать самостоятельные исследования.

Я буду считать свою задачу решенной, если работа студентов и аспирантов над книгой позволит отчасти восполнить этот пробел или хотя бы осознать его наличие.
Стиль книги во многом определяется опытом преподавания. Отдельные вопросы, обычно легко воспринимаемые студентами, излагаются конспективно. Ряд фундаментальных результатов математической физики, вычислительной математики, теории динамических систем, обсуждавшихся в предшествующих курсах, без которых невозможен анализ нелинейных явлений, приходится напоминать. И одновременно с этим некоторые важные проблемы, недостаточно освещенные или совсем не затронутые в учебной литературе, рассматриваются весьма подробно.
В книге приведено большое количество примеров и иллюстраций. Там, где это возможно, основное внимание уделено ключевым идеям и конкретным моделям, ради которых и создавались те или иные инструменты. В ряде случаев пришлось пожертвовать общностью, строгостью и рядом технических деталей ради наглядности.
Книга рассчитана на активного заинтересованного читателя. Поэтому в каждой главе обращается внимание на различную литературу, начиная от стандартных учебников и кончая монографиями, обзорами и оригинальными статьями, которые помогут более глубоко ознакомиться с обсуждаемой проблемой. Список литературы не претендует на полноту. В нем обращается внимание на наиболее простые и доступные источники. Для удобства читателей он снабжен комментариями, показывающими, что и где можно найти.
Выло бы важно, чтобы читатель не только многое знал, но и умел решать элементарные задачи, связанные с анализом нелинейных явлений. Поэтому в книге приводится около сотни задач, использовавшихся при проведении семинаров.
Объем книги примерно соответствует полугодовому вводному курсу, сопровождаемому семинарами, который читается студентам математикам, физикам, вычислителям на четвертом - пятом курсах. У этих студентов за плечами курсы математического анализа, линейной алгебры, математической физики, численных методов, теоретической физики. Однако большой интерес к курсу моделирования нелинейных явлений проявляли химики, биологи, инженеры, не обладающие столь солидной подготовкой. Их интересы также в определенной мере учтены. В книге обращается внимание на некоторые принципиальные результаты основных математических курсов, на которые опирается изложение.
Осталось сказать, что предлагаемый материал отражает лишь небольшую часть нелинейной науки, тесно связанную с вычислительным экспериментом, и представляет только фрагмент огромной области исследований. Выбор материала отчасти диктовался субъективными пристрастиями автора. Каждая глава имеет свою нумерацию рисунков и формул. Представления нелинейной науки оказались созвучны творчеству Морица Эшера. В каждой главе помещена одна из работ этого художника. Все иллюстрации в настоящей книге взяты из альбома "Мир М.К.Эшера", включая художественные элементы обложки.
Развитие науки XX века показало необходимость построения множества различных моделей для описания одного явления или объекта, создания альтернативных картин реальности. Мы вынуждены жить не в мире абсолютных законов, истин в последней инстанции, всеобъемлющих концепций, поэтому исследователям приходится иметь дело с моделями, с взглядами, фиксирующими одно и игнорирующими многое другое. Мы должны играть, создавая миры, в которых от нашего "настоящего", слишком сложного и запутанного, взято совсем немного. Пожалуй, именно в этой подчеркнутой условности, умении выделить немногое, парадоксальности создаваемых миров, в кажущейся легкости и произвольности и состоит очарование работ Эшера.
Лавина информации, порожденная компьютерами, заставила задуматься над тем, как ее понять, осмыслить, упорядочить, как воспользоваться тем богатством, которое нам досталось. Как разумно распорядиться открывшимися возможностями, отделить самое интересное от просто интересного? Решение оказалось по-эшеровски парадоксальным. Выход состоит в разработке междисциплинарных подходов, в создании новых миров. Становление и развитие кибернетики, синергетики, нелинейной динамики показали, что это не только возможно, но и захватывающе интересно. Не удивительно ли, что в журналах по нелинейной науке ("nonlinear science" - в англоязычных странах) можно увидеть статьи математиков и географов, психологов и физиков. Они осваивают новый нелинейный язык, который прячется за отдельными задачами, уравнениями, областями исследований. Возникает своеобразная натурфилософия компьютерной эры. Это игра с очень высокими ставками. В ходе ее может выясниться, какой смысл исследователи будут вкладывать в слово "понимать".
Считаю приятным долгом выразить признательность своим учителям - С.П.Курдюмову, А.А.Самарскому, а также коллегам и ученикам, во многом определившим подбор материала и стиль изложения. Я очень благодарен В.Г.Комаровой за огромную помощь в подготовке рукописи.

http://www.gordon.ru/konkurssite/texts/mgg03.doc

Закладка в соц.сетях