Жанр: Наука
Архитектура математики
...триваться как весьма грубое приближение к
истинному положению дел в математике. Он является одновременно схематическим,
идеализированным и застывшим.
Схематическим - так как в деталях не все идет так гладко и планомерно, как
это может представиться после того, что мы рассказали. Между прочим, имеются неожиданные
возвращения назад, когда теория, носящая ярко выраженный частный
характер, как, например, теория действительных чисел, оказывает помощь, без которой
нельзя обойтись при построении какой-либо общей теории, как, например, топологии
или теории интегрирования.
Идеализированным - потому что далеко не во всех разделах математики некоторая
определенная часть каждой из основных структур распознана и вмещена в четко
очерченные границы. В некоторых теориях (например, в теории чисел) существуют
многочисленные изолированные результаты, которые до сего времени не умеют ни
классифицировать, ни связать удовлетворительным образом с известными структурами.
Наконец - застывшим, так как нет ничего более чуждого аксиоматическому методу,
чем статическая концепция науки, и мы не хотели оставить у читателя впечатление,
будто бы мы претендовали дать очерк ее окончательного состояния. Структуры не
остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности вполне возможно, что дальнейшее
развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных структур;
открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, можно
заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали
уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются
чем-то законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была
уже исчерпана.
Введя эти неизбежные поправки, можно лучше понять внутреннюю жизнь математики,
понять то, что создает ее единство и вносит в нее разнообразие, понять этот
большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим
образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается,
следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все
более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их
лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более
прямые, все более широкие, все более удобные.
Возвращение к прошлому и заключение
Концепция, которую мы только что пытались изложить, возникла не сразу, а лишь в
результате более чем полувековой эволюции и была встречена не без сопротивления
как со стороны философов, так и со стороны математиков. Многие из этих последних
долго не могли согласиться рассматривать аксиоматику как что-либо большее, чем
ненужные тонкости логиков, неспособные оплодотворить какую-либо теорию. Эта критика
объясняется, без сомнения, исторической случайностью: аксиоматизации, которые
появились первыми и которые имели наибольший отклик (аксиоматизации арифметики
Дедекинда и Пеано, евклидовой геометрии Гильберта), касались унивалентных
теорий, т.е. таких, которые полностью определялись совокупностью своих аксиом,
причем система этих аксиом не могла быть применена к какой-либо другой теории,
кроме той, из которой она была извлечена (в противоположность тому, что мы видели,
например, в теории групп). Если бы это имело место для всех структур, то упрек в
бесплодности, выдвинутый по адресу аксиоматического метода, был бы полностью
оправдан11. Но этот метод доказал свою мощь своим развитием, и отвращение к нему,
которое еще встречается там и сям, можно объяснить лишь тем, что разум по естественной
причине затрудняется допустить мысль, что в конкретной задаче может оказаться
плодотворной форма интуиции, отличная от той, которая непосредственно подсказывается
данными (и которая возникает в связи с абстракцией более высокого порядка
и более трудной.
Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где
мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная проблема
состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического12.
То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами
существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом
подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны
глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо
смысл) и, быть может, мы их никогда и не узнаем. Во всяком случае сделанное замечание
могло бы побудить философов в будущем быть более благоразумными при
решении этого вопроса. Перед тем как началось революционное развитие современной
физики, было потрачено немало труда из-за желания во что бы то ни стало заставить
математику рождаться из экспериментальных истин; но, с одной стороны, квантовая
физика показала, что эта "макроскопическая" интуиция действительности скрывает
"микроскопические" явления совсем другой природы, причем для их изучения требуются
такие разделы математики, которые, наверное, не были изобретены с целью
приложений к экспериментальным наукам, а с другой стороны, аксиоматический метод
показал, что "истины", из которых хотели сделать средоточие математики, являются
лишь весьма частным аспектом общих концепций, которые отнюдь не ограничивают
свое применение этим частным случаем. В конце концов, это интимное взаимопроникновение,
гармонической необходимостью которого мы только что восхищались, представляется
не более чем случайным контактом наук, связи между которыми являются
гораздо более скрытыми, чем это казалось а priori.
В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных
форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно,
почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как
будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм. Конечно,
нельзя отрицать, что большинство этих форм имело при своем возникновении
вполне определенное интуитивное содержание; но как раз сознательно лишая их этого
содержания, им сумели придать всю их действенность, которая и составляет их силу, и
сделали для них возможным приобрести новые интерпретации и полностью выполнить
свою роль в обработке данных.
Только имея в виду этот смысл слова "форма", можно говорить о том, что аксиоматический
метод является "формализмом". Единство, которое он доставляет математике,
это - не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный
жизни. Это - питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный
инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе,
начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле
Лежена Дирихле, всегда стремились "идеи заменить вычислениями" ** [ - см. прим.
ред. сканирования - С. Катречко].
Примечания:
1 La Mathematique ou les Mathematiques? (т. е. одна математика или несколько математик?).
2 Каждый математик, впрочем, знает, что доказательство не является "понятным" в подлинном
смысле этого слова, если ограничиться лишь проверкой правильности выводов, которые
его составляют, и не пытаться понять отчетливо идеи, которые привели к созданию этой цепочки
выводов предпочтительно перед всякой другой.
3 Этот выбор не является единственно возможным, и известны различные системы аксиом,
"эквивалентных" рассматриваемой, причем аксиомы каждой системы являются логическими
следствиями аксиом любой другой системы.
4 Заметим, что остатки от деления на р чисел 1, x, x2,... хn, ... не могут быть все различными.
Приравняв два из них друг другу, легко показать, что степень xk-l (k " l) от х имеет остаток,
равный 1. Если х? является остатком от деления xk-l-1 на р, то произведение хх?по модулю р
равно 1.
5 Разумеется, этот смысл слова "аксиома" не имеет ничего общего с общепринятым смыслом
выражения "очевидная истина".
6 Мы становимся здесь на "наивную" точку зрения и не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских,
полуматематических, возникших в связи с проблемой "природы" математичских
"объектов". Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях
этих "объектов", мыслимых сначала как идеализированные "абстракции" чувственного
опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических
исследований XIX-XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного
сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором
этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как "первоначальное"
и "неопределимое", было объектом многочисленных споров, вызванных характером его
исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которые оно у нас
вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все
метафизические псевдопроблемы относительно математических "объектов") в результате
недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными
математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры.
Читатель найдет более подробное развитие этой точки зрения в следующих двух статьях:
Dieudonne J., Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques, Revue
Scientifique, 78 (1939), 224-232; Сагlаn Н., Sur lе fondement logique des mathematiques, Revue
Scientifique, 81 (1943), 3-11.
7 В действительности это определение структуры не является настолько общим, насколько
этого требуют нужды математики. Нужно также охватить и тот случай, когда отношения, определяющие
структуру, имеют место не между элементами рассматриваемого множества, а
между подмножествами этого множества, и даже, в более общем случае, между элементами
множеств еще более высокой "степени" - в так называемой "лестнице типов". Дальнейшие
детали читатель найдет в наших Elements de Mathematique, книга 1 (сводка результатов), Actual.
Scient. еt Industr., № 846.
8 В случае групп надо было бы, если соблюдать полную строгость, считать аксиомой, кроме а,
b, с, и утверждение о том, что соотношение z = х?у определяет одно и только одно z, когда
даны x, у. Обычно считают, что это свойство молчаливо подразумевается самой записью этого
отношения.
9 См., например, наши Elements книга III, введение к главе 1, Actual. Scient. еt Industr., № 858.
(Русский перевод: Бурбаки Н. Топологические структуры, М., 1959.)
10 Система Тейлора - капиталистическая система организации труда, предложенная американским
инженером Ф.У. Тейлором для получения максимальной прибыли. Одним из элементов
этой системы является изучение трудовых процессов путем их разложения на составные
элементы.
11 Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что
начал развиваться, расцвета уродливых структур, полностью лишенных приложений, единственное
достоинство которых заключалось в том, что, изучая их, можно было дать точную опенку
значимости каждой аксиомы, выясняя, что происходит, когда эту аксиому удаляют или видоизменяют.
Очевидно, в тот период можно было поддаться искушению и сделать вывод, что это
- единственные результаты, которые следует ожидать от этого метода.
12 Мы не касаемся здесь возражений, вызванных применением правил формальной логики к
рассуждениям в аксиоматических теориях; они связаны с логическими трудностями, на которые
наталкивается теория множеств. Заметим только, что эти трудности могут быть преодолены
таким образом, что не останется никакой неуверенности или сомнения относительно правильности
рассуждений. По поводу этого можно обратиться к статьям Картана и Дьёдонне, которые
были цитированы выше.
** - в предисловии к русскому переводу работы Н. Бурбаки "Теория множеств" (М., "Мир",
1965) ред. пер. В.А. Успенский (см. сноску на стр. 18) отмечает, что последняя фраза русского
перевода статьи Н. Бурбаки "Архитектура математики" содержит опечатку. Напечатано "идеи
заменить вычислениями", а следует читать: "вычисление заменить идеями" (в оригинале
"substituer les idees au calcul"; см. "Les grands courants de la pensee mathematiques", presentes
par F. Le Lionannais, Fontenay-aux-Roses (Seine), Cahiers du Sud, 1948, p 47). Судя по всему,:
при переводе с французского формально возможны оба варианта, поскольку там нет падежей
и руководствоваться можно только порядком слов в предложении, т. е. в данном случае более
подходяще буквальное "заменить что - чем", или содержательно "подставить идеи на место
счета" (консультация М.В. Лебедева). В пользу этого - буквального перевода - говорит и
косвенное свидетельство Г. Вейля, который в своей статье "Топология и абстрактная алгебра
как два способа понимания математики" (см. его книгу "Математический способ мышления")
приводит именно этот вариант принципа Л. Дирихле (Томсона) (дословный текст русского
перевода звучит так: "В речи, посвященной памяти Лежёна Дирихле, Минковский противопоставил
принципу минимума, который в немецкой литературе принято связывать с именем Дирихле,
но который на самом деле был всесторонне разработан Уильямом Томсоном, другой,
подлинный принцип Дирихле: одолевать проблему при минимуме слепых вычислений и
максимуме наглядных идей; с этого принципа, говорит Минковский, началось новое время в
истории математики" (выделено мной - К. С.).
Поділитися у соцмережах
