Жанр: Философия
Онтология математического дискурса
...жно выделить три типа конструируемых объектов.
Прежде всего, арифметика всегда подразумевает некоторую пространственную
структуру, на которую можно непосредственно указать, описывая любую
арифметическую операцию. Арифметическое утверждение также можно разложить
на выделенные нами ранее части, указывая при этом в экспозиции на единичный
протяженный объект, создаваемый согласно заданному правилу. В знаменитом
кантовском примере - о суммировании чисел пять и семь - мы можем построить
соответственно пять и семь точек или пять и семь последовательных отрезков
на числовой прямой (и даже положить рядом пять и семь яблок). С помощью
пространственных конструкций мы можем демонстрировать сложение, вычитание,
деление, умножение, вводить отрицательные, дробные и даже иррациональные
числа.
(См. примечание 1) Но каждая такая операция, представляющая собой
актуализацию определенного арифметического понятия, предполагает также и
именование конструируемых объектов. Пользуясь определенной системой
счисления, мы присваиваем протяженным конструкциям имена, являющиеся
названиями чисел. Но пользуясь такими именами вкупе с названиями операций,
мы производим конструкции совершенно иного рода. Мы создаем, прежде всего,
сами числа, сообразуясь с правилами, заданными системой счисления. Мы
создаем выражения, содержащие эти числа, и даже длинные тексты, включающие
подчас весьма специфические конфигурации. В этом конструировании мы можем
продвигаться достаточно далеко, вовсе не обращаясь к соответствующей
протяженной конструкции, а используя наглядные представления совершенно
иного вида.
Многие авторы (см., например, [64], [80], [83]) говорят об абстрактности
арифметики, имея в виду отвлечение от протяженных конфигураций и их
особенных признаков при определении числовых операций. Однако, важно иметь
в виду, что в арифметическом дискурсе происходит конструирование совершенно
конкретного единичного объекта. Несмотря на то, что правила этого
конструирования существенно отличаются от геометрических, работа всех трех
способностей субъекта остается той же самой. При рассмотрении любого
арифметического утверждения воображение строит объект, согласно правилам,
предписанным рассудком, а проведение достаточно сложного вычисления требует
и обобщающей догадки (т.е. дополнительного построения), которая делается
способностью суждения. (См. примечание 2)
Однако арифметический дискурс включает и именование иного рода, нежели
обозначение протяженных конструкций с помощью чисел и числовых операций.
Очень часто при формулировке каких-либо утверждений о числах пользуются
буквенными обозначениями. В таком случае, вместо единичного объекта,
который следовало бы предъявить при экспозиции, возникает знаковая
конструкция, являющаяся именем того объекта, о котором идет речь. Здесь
возникает несколько странных особенностей. С одной стороны знаковая
конструкция в арифметике замещает не один, а множество подобных числовых
объектов. Она носит общий характер, причем эту общность следует понимать не
как общность абстракции, а как общность структуры. Если, например, вместо
нечетного числа мы пишем '2n+1', то вводим принцип порождения всех
объектов, соответствующих заданному общему понятию. С другой стороны, вводя
имена, мы пользуемся ими и построенными из них выражениями как единичными
объектами. Работая с именами, мы производим пространственно определенные
конструкции, создаваемые воображением и представимые в созерцании. Сам
способ введения этих имен полностью соответствует экспозиции в
геометрической теореме. Так, сформулировав общее утверждение о свойствах
целых чисел, мы, переходя к его доказательству, произносим: "Пусть n -
целое число, тогда" и т.д. Дальнейший дискурс вообще ничем не отличается от
алгебраического. Однако при доказательстве алгебраической теоремы
конструируется объект того же вида, что и любой другой, для которого
справедлива теорема. Разумеется, вместо a0+a1 z+....+an zn можно написать
b0+b1 x....+bm xm , но ничего принципиально иного здесь появиться не может.
Точно так же при доказательстве геометрической теоремы мы могли
использовать остроугольный треугольник и считать потом, что она справедлива
также и для тупоугольного. В арифметике же буквенные выражения есть имена
числовых (или даже протяженных) объектов, которые, однако, вообще не
конструируются в дискурсе. Конструируется совершенно не тот объект, о
котором ведется рассуждение. "Тот" объект, конечно же может быть в любой
момент предъявлен, но в дискурсе он не присутствует.
Таким образом в арифметике происходит именование непостроенного объекта,
некая квазиактуализация понятия. Работа со знаковой конструкцией в
арифметике подобна работе с такой же конструкцией в алгебре, но в алгебре
эта конструкция представляет собой одновременно и предмет исследования, а в
арифметике только имя этого предмета. Ее нужно рассматривать как некую
систему пустых мест, на которые должны быть поставлены любые объекты
определенного вида. Тот факт, что вместо объектов можно работать с их
именами, организованными в определенную структуру, обнаруживает, что для
развертывания дискурса нам важны не сами эти объекты, а отношения между
ними. Но немаловажно еще и то, что развертывание дискурса приводит к
объективизации отношений. Наше рассуждение обязательно должно быть отнесено
к остенсивно определяемому предмету, к пространственной конструкции -
протяженной или знаковой.(См. примечание 3)
Итак именование представляет собой актуализацию предмета даже тогда, когда
сам этот предмет не конструируется. Такой ход характерен не только и даже
столько для арифметики, сколько для тех сфер математики, которые пытаются
работать с бесконечными предметами. Введение предельных понятий, например,
в том и состоит, что для объекта, точнее квазиобъекта, неконструируемого
предмета находится имя, актуализирующее его в дискурсе. При этом дальнейшее
развертывание дискурса оказывается все же вполне конструктивной процедурой,
но строится в этой процедуре не предмет исследования, а последовательность
выражений, интерпретируемых как высказывания об этом предмете. Например,
обозначив предел числовой последовательности буквой 'a', мы можем строить
знаковую конструкцию по правилам, предписанным
определением предела. Любая теорема о существовании предела
последовательности будет в этом случае предположением возможности
названного понятия. Но чтобы показать эту возможность, нужно конструировать
не саму эту последовательность вместе с ее пределом, а рассуждение о
пределе, записываемое по определенным формальным правилам.
3 Дискурс имен и неконструктивные "объекты"
Именование делает математику способной рассматривать как действительные те
предметы, которые никак не могут быть непосредственно построены.
Возможность соответствующего этим предметам понятия обнаруживается, однако,
по той же самой схеме, которую мы описали выше. Но конструкцией (играющей
роль геометрического дополнительного построения) будет в этом случае сам
дискурс, само математическое рассуждение, которое строится по определенным
правилам. Неконструктивность исследуемых предметов вновь необходимо делает
создаваемую знаковую конструкцию той самой системой пустых мест, о которой
мы говорили выше. Но если в арифметике на пустое место всякий раз мог быть
поставлен сконструированный объект, то в тех областях математики, которые
"имеют дело с бесконечностью", туда нечего поставить, кроме имени.
Последнее означает, что существование в этом случае может быть понято
только как существование элемента в структуре отношений. Хотя нельзя
игнорировать и иную возможную интерпретацию существования предмета,
актуализируемого с помощью имени. Можно (в духе математического реализма)
считать, что используемое в рассуждении имя есть имя сущности. Эта
идеальная сущность определяется через ряд атрибутов или свойств и
предполагается пребывающей независимо от всякого дискурса. В рассуждении
можно, исходя из известных, определяющих свойств обнаружить еще ряд
неизвестных, увеличив таким образом наше знание о сущности. Но такая
интерпретация требует очень жестких мер предосторожности. Называя те
предметы, которые мы не можем построить, мы рискуем начать рассуждать о
чем-то вовсе не существующем и стать жертвами иллюзий и беспочвенных
спекуляций. На эту опасность указывал в свое время Беркли. Считая имя
специальным знаком, предназначенным для обозначения идей (т.е.
воспринимаемых чувствами вещей, которые существуют именно потому, что
воспринимаются), он утверждал, что процедура именования создает иллюзию
абстрактных понятий, поскольку имена начинают рассматривать отдельно от тех
идей, которые они обозначают.
(См. примечание 4) В математике, впрочем, происходит нечто еще более
опасное - слова не просто отделяются от своих предметов, но возникает
возможность конструировать новые слова, которым не соответствуют никакие
идеи. Именно такими беспредметными образованиями считал Беркли понятия
"флюксия", "дифференциал", "бесконечно малая величина". Использование таких
понятий в рассуждении чревато, по мнению Беркли, серьезными противоречиями
и ошибками (которые он сам пытался обнаружить в современных ему работах по
дифференциальному и интегральному исчислению - см. [8] c.406-407, 410-420).
Трудно сказать, в какой мере последующее развитие математики опровергло
рассуждение Беркли о противоречивости математического анализа, однако
появление известных парадоксов теории множеств также связано с попыткой
именования невозможных сущностей. Именно такой сущностью является, во
всяком случае, канторовская W - пример, показывающий, что, определив общее
понятие и попытавшись с помощью имени актуализировать соответствующий ему
предмет, можно получить противоречие ([31],c. 365). Ясно, что такой подход
требует принятия некоторых ограничений (или, как говорил Кант, дисциплины).
С другой стороны, также ясно, что ограничение, предлагаемое, например,
Беркли, и состоявшее в том, чтобы не выходить за пределы рассмотрения
чувственно воспринимаемых объектов, слишком обременительно для математики.
(См. примечание 5)
Если вернуться к рассмотрению структуры дискурса, то в нем, как мы видели,
присутствуют имена различных предметов - как представимых созерцанию
конструкций, так и квазиобъектов, которые невозможно сконструировать.
Помимо предела последовательности, таковыми являются, например, бесконечно
удаленная точка в проективной геометрии или канторовские трансфинитные
числа. Мы видели, однако, что сам дискурс, оперирующий с именами этих
квазиобъектов, все же является конечной конструкцией - именно на такой
посылке основывается гильбертовская программа обоснования математики.
Допустимость использования неконструируемых предметов обосновывается
исследованием самого дискурса, в котором их имена должны занять
определенное место.
Сейчас нам представляется уместным вновь вернуться к гильбертовскому
пониманию существования, и взглянуть на него с точки зрения рассмотренных
нами выше категорий.
Общее утверждение о неконструктивном объекте (или идеальном элементе, если
следовать терминологии Гильберта) есть предположение о возможности
соответствующего понятия. Однако характер исследуемого предмета не
позволяет, как это было в финитном случае, непосредственно актуализировать
понятия, фигурирующие в данном утверждении. Поэтому используется
квазиактуализация, сводящаяся к простому именованию идеального элемента
(или нескольких идеальных элементов, понятия которых обсуждаются).
Доказательство утверждения, будучи знаковой конструкцией, создаваемой
сообразно схеме понятия, (именно того понятия, возможность которого
устанавливается) является, как и в любом алгебраическом рассуждении,
построением, актуализирующем это понятие. Понятие возможно потому, что мы в
состоянии предъявить конечную знаковую конструкцию, т.е. соответствующий
ему действительный объект. Действительность этого объекта означает, что его
конструирование велось не просто в соответствии со схемой данного понятия,
но и правилами, предписанными для конструирования любого объекта (т.е.
любого доказательства) данной теории. Здесь, между прочим, вполне точно
воспроизводится ситуация с геометрической теоремой, рассмотренная нами в
предыдущей главе. Там объект, созданный в результате дополнительного
построения, был действительным потому, что создавался по правилам,
предписанным евклидовыми постулатами. Точно также и доказательство
конструируется сообразно с аксиомами данной теории. Однако необходима
важная оговорка по поводу самих этих аксиом. Нужно, чтобы любой объект,
создаваемый по предписанным ими правилам обладал свойством
непротиворечивости. Это, как мы говорили выше, вполне конструктивное
свойство, приписываемое конечному и доступному созерцанию предмету в
результате синтеза, производимому в метатеории.
Действительность объекта, конструируемого при доказательстве, есть
необходимое и достаточное условие действительности элементов создаваемой
конструкции. Именно так следует понимать существование идеальных объектов.
Они существуют, если их имена актуализированы в реально созданной (т.е.
действительной) конструкции. То же самое условие следует рассматривать как
условие возможности понятия идеальных элементов. Поскольку действительность
построения включает непротиворечивость конструкции, то оказывается, что
возможность понятий эквивалентна отсутствию противоречия в теории,
использующей эти понятия. Мы, следовательно пришли к весьма специфическому
пониманию логической возможности - выяснилось, что логическая возможность
совпадает с реальной.
Итак, о существовании идеальных объектов можно говорить лишь постольку,
поскольку они являются элементами в структуре дискурса. Более того, само их
введение служит целям построения дискурса. Е.Д. Смирнова, интерпретируя
Гильберта, утверждает, что "идеальные образования и утверждения, выводящие
за пределы высказываний о конкретных конфигурациях, реализуемых в
пространстве и времени, следует рассматривать как фикции, используемые лишь
для удобства выводов" ([51], c.239). При этом важно помнить, что сами
выводы также являются пространственно-временными конфигурациями.
Предположение о возможности таких объектов есть акт рефлектирующей
способности суждения. Это гипотеза, позволяющая представить ряд уже
имеющихся конструкций (реальных объектов) в виде единой объемлющей
конструкции, завершенного дискурса - доказательства или целой теории.
Дискурс включает в себя имена идеальных элементов, подобно тому, как
эллипс, описывающий орбиту небесного тела, включает в себя все места в
пространстве, в которых это тело может оказаться. Чтобы ввести идеальный
элемент, нужно уметь предвидеть структуру дискурса, в которой этот элемент
займет нужное место. (См. примечание 6)
Примечания к Главе 4
1. Все это прекрасно описано, например, в "Геометрии" Декарта. вернуться в
текст
2. Таким "дополнительным построением" является, например, умножение в
столбик многоразрядных чисел. Поскольку, впрочем, эта операция освоена
всеми в начальных классах школы, то для ее выполнения вовсе не нужно
действия рефлектирующей способности суждения. Можно однако представить себе
как действует эта способность, если названный метод вычисления находится
нами впервые и мы располагаем лишь общим определением умножения и рядом
единичных примеров перемножения одноразрядных чисел. Вообще
действие рефлектирующей способности суждения становится очевидным при
выполнении такого вычисления, для которого не разработано общей методики.
вернуться в текст
3. Именование непостроенного объекта происходит и в алгебре. В нашем
примере оно также имело место, когда мы обозначили степень полинома буквой
'n'. вернуться в текст
4. Сам Беркли считал, что никакими общими понятиями человек обладать не
может. Есть лишь общие слова, служащие для обозначения многих частных идей
([6], c.158-162). вернуться в текст
5. Рассуждение Беркли может иметь нечто общее с брауэровским проектом
построения математики. Желание ограничить предмет математики конечными
числовыми конструкциями, полностью представимыми в воображении, близко к
намерению не выходить за пределы чувственных восприятий. Хотя оба мыслителя
совершенно по-разному представляли себе деятельность математика и природу
математических объектов, однако их сближает некий радикализм в попытке
ограничения сферы исследования этой науки. Насколько нам
известно, в истории математики нет других примеров такого рода - когда бы
предлагалось практически ликвидировать целые математические дисциплины.
вернуться в текст
6. Е.Д. Смирнова, сопоставляя взгляды Гильберта с философией Канта,
указывает на связь идеальных элементов с трансцендентальными идеями разума.
Именно действие разума позволяет выйти за рамки пространственно-временных
отношений и перейти к рассмотрению понятий, не описывающих ничего, что
лежало бы в ряду явлений. Мы не можем согласиться с такой интерпретацией,
поскольку, считаем, что своим появлением в математическом рассуждении
идеальные элементы обязаны не разуму, а способности суждения. Хотя при
определении этих элементов и происходит "отлет от реальности" (выражение
Е.Д. Смирновой), но все же их введение приводит к созданию новой реальности
- дискурсивной конструкции, разворачиваемой в пространстве и времени.
(Заметим, что слово "реальность" понимается здесь строго в кантовском
смысле - см. Примечание 2 к Главе 3.) Акт рефлективной способности суждения
как раз и подразумевает такое, если можно так выразиться,
квази-трансцендирование, уход от реальности наличного опыта (но не выход за
пределы возможного опыта). Именно в таком действии и состоит смысл финитной
установки - всякое обоснование должно быть основано на предъявлении
конечного, доступного созерцанию объекта. Поэтому для понятия идеального
элемента (например, для понятия бесконечно удаленной точки или
трансфинитного числа) чувства могут дать адекватный предмет (ср. B383 -
"Под идеей я разумею необходимое понятие разума, для которого чувства не
могут дать адекватного предмета."). Дискурсивная конструкция в самом деле
есть адекватный предмет для понятия идеального элемента, поскольку помимо
этого дискурса его вообще невозможно мыслить. Трансцендентальные идеи
призваны играть в рассуждении иную (хотя в чем-то и близкую) роль нежели
идеальные элементы. Идея создает целостность условий, т.е. безусловное
единство в бесконечном ряду обусловленного (см. B379). Идеальные элементы
также создают единство, но отнюдь не безусловное, а весьма относительное.
Введение числа w - порядкового типа множества натуральных чисел - создает
единство в натуральном ряду, т.е. является условием единства натурального
ряда. Но порядковые типы можно множить до бесконечности, причем каждое
последующее будет условием единства для ряда предыдущих. Единственное, что
может претендовать на роль трансцендентального понятия, - это "множество
всех чисел", которое нельзя мыслить без противоречия. Трудно сказать, есть
ли прямая связь между антиномиями чистого разума и канторовскими
парадоксами, но определенная аналогия все же усматривается. вернуться в
текст
Заключение
В качестве итога проведенного исследования мы можем теперь определить ряд
выявленных в нем онтологических категорий.
Первой в этом ряду категорий должна быть указана конструкция, обозначающая
результат пространственно-временного построения. Конструкция всегда явлена
в пространстве и представляет собой продукт некоторой регулярной (т.е.
подчиненной правилу) деятельности. Этот продукт является созерцанию
благодаря действию способности воображения. Выделяя временной аспект, мы
должны рассматривать конструкцию как след. Выделяя аспект целесообразности,
мы называем конструкцию объектом. Всякая конструкция строится для того,
чтобы решить определенную задачу. Мы должны ответить на вопрос, связанный с
определенным образом построенным объектом. Но ответ на вопрос является
результатом "встраивания" этого объекта в более общую, объемлющую его
конфигурацию. Особенно это важно при решении вопроса о существовании. Суть
всякого исследования сводится к построению конструкции определенного рода,
в которой исследуемый объект занял бы определенное место.
Конструкция, включающая в себя объект, называется дискурсом. Категория
дискурса собственно и определяется таким включением. Но этим же включением
определяется и категория объекта. Последний не может быть изолированной
конструкцией. Он является объектом, поскольку является предметом дискурса.
Но предметом дискурса может стать любая завершенная конструкция. В том
числе и сам дискурс. В метаматематике Гильберта это проявляется особенно
ясно. Гильберт сознательно делает доказательство (т.е. дискурс) объектом
иного дискурса.
Однако любое математическое и естественнонаучное исследование подразумевает
такое расширение конструктивной деятельности. Если мы интерпретируем
построенную конструкцию как факт, то для этого факта следует искать
объясняющую гипотезу. Заметим, что факт означает не только построенный
объект, но и установленное в рамках некоторой конструкции отношение
объектов, т.е. по существу тот же дискурс. Следовательно, перед нами
открывается перспектива неограниченного роста дискурса (или безграничного
конструирования объектов). Такая перспектива требует указания горизонта
упомянутого роста, своего рода объясняющей гипотезы (впрочем, совершенно
иной, нежели общая конструкция рефлектирующей способности суждения). Если
мы, вслед за Кантом, будет рассматривать новое объемлющее построение как
условие ряда предшествующих конструкций, то нам требуется указать понятие
(которому, однако, уже не будет соответствовать никакая конструкция)
являющееся безусловным в ряду всех возможных конструкций или, иными
словами, абсолютным условием всех возможных дискурсов.
Речь, следовательно идет о том, что Кант называл трансцендентальной идеей.
Обращение к ней позволяет рассматривать безграничный ряд связанных друг с
другом явлений как ограниченное проявление некоторого общего принципа.
Наличие такого принципа позволяет предполагать, что наше ничем не
ограниченное восхождение от частных построений к все более общим
совершается так, как если бы некий рассудок уже построил какую-то
глобальную конструкцию, которую мы только изучаем (а не создаем).
Нам представляется, что, если мы говорим об условии всех возможных
дискурсов, то трансцендентальной идеей, призванной обозначить это
абсолютное единство условий, является язык. Все конструкции, о которых мы
говорили ранее, несомненно можно назвать языковыми. Но никакой конструкции,
соответствующей понятию языка представить невозможно. С другой стороны мы
очевидно мыслим язык, как условие всякого дискурса. Условием дискурса
можно, конечно, назвать и общее правило конструирования конкретного
дискурса - т.е. рассудочное условие, понятие, задающее схему. Но язык
очевидно не относится к числу таковых. Он может быть рассмотрен как
неисчерпаемый источник средств для построения дискурса и как бесконечный
запас структур. Можно мыслить его как некий сверх-дискурс или как
абсолютную логическую форму любого дискурса. Но все это в высшей мере
приблизительные описание. Таких - не всегда похожих, но всегда уместных -
можно найти очень много. Но достигнуть правильного и исчерпывающего
описания языка невозможно по той простой причине, что для этого понятия
невозможно найти адекватный объект. Иными словами язык можно рассматривать
только как регулятивное понятие. Именно поэтому мы во Введении заявили о о
серьезной дистанции, разделяющей понятия "язык" и "дискурс". (Конечно,
бессмысленно было бы говорить, что их сближение или даже отождествление -
ошибочно. Слово дискурс, как мы уже говорили, обладает в современном языке
удивительной многозначностью, а потому трактовать его можно весьма
разнообразно. Важно только иметь в виду, что дискурс, понятый как язык,
неизбежно должен быть рассмотрен как регулятивное понятие.)
Нам осталось рассмотреть проблему общего в отношении введенных категорий.
Всякая конструкция (объект или дискурс) есть нечто действительное,
локализованное в пространстве и времени. Но с другой стороны конструкция
воспроизводима в любое время и в любом месте. Причем воспроизведение не
означает копирования. Воспроизведение означает построение другой подобной
конструкции - в ней могут быть использованы другие имена, другие
геометрические образы, но сохраняются отношения между элементами, т.е.
между тем, куда подставляются имена и образы. Эту совокупность отношений
(систему пустых мест) мы называем структурой. Последняя может быть выражена
в виде правила или краткой формулы, даже в виде одного слова, устойчиво
обозначающего именно эту систему отношений. Такое краткое выражение
структуры уместно назвать понятием. Как понятие так и структура всегда лишь
возможны. Они актуализируются в определяемых ими конструкциях.
Понятие структуры достаточно часто используется в лингвистике, причем его
употребление достаточно близко к нашему. В [53], например, устанавливается
связь между "структурой" и "системой", которой вполне соответствует
установленное нами отношение между структурой и конструкцией. "Под системой
понимается единое целое, доминирующее над своими частями и состоящее из
элементов и связывающих их отношений. Совокупность отношений между
элементами системы образует ее структуру. Правомерно говорить поэтому о
структуре системы. Совокупность структуры и элементов составляют систему"
([53], c. 228).
Важно отметить некоторую странность этой категории. Она занимает как бы
срединное положение между понятием и конструкцией. Но два последние имеют
явное выражение. Понятие может быть задано в виде правила или суждения,
конструкция предъявлена в виде созерцания. Между тем структура сама по себе
не выражается никак. Очевидна близость между ней и кантовской
трансцендентальной схемой, хотя мы воздержались бы от отождествления этих
понятий
...Поділитися у соцмережах
