Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б.
Современные проблемы нелинейной динамики
(М., УРСС, 2002)
В книге рассматриваются некоторые ключевые проблемы современной нелинейной динамики. Концепция авторов сводится к тому, что принципиальные трудности, с которыми столкнулся этот междисциплинарный подход, требуют новой парадигмы. В книге сделана попытка наметить ее возможные контуры. На смену эре диссипативных структур и эре динамического хаоса должна прийти новая эпоха. Если многие концепции и базовые математические модели ранее приходили в синергетику из физики, химии, гидродинамики, то теперь их основными поставщиками становятся нейронаука, теория риска, биология, теоретическая история, психология и другие области, связанные с анализом сложных необратимо развивающихся систем.
Обсуждается ряд оригинальных результатов, касающихся математического моделирования нелинейных явлений и анализа временных рядов. Большое внимание уделено таким бурно развивающимся в синергетике подходам как теория инерциальных многообразий, реконструкции аттракторов, теория самоорганизованной критичности, решеточные газы. Это делает книгу интересной для специалистов в нелинейной динамике и смежных областях.
Более чем двадцатилетнее развитие синергетики заставляет подвести предварительные итоги и заново оценить основные идеи, модели, концепции, отредактированные в ходе большого пройденного пути, осмыслить ''язык'' нелинейной науки. Этому посвящена значительная часть книги, что делает ее полезной широкому кругу студентов, аспирантов и всем, кто хочет ознакомиться с конкретным математическим содержанием нелинейной динамики.
Оглавление
Глава 1.
Предисловие, или игры со сложностью
1.1.
Время оправдывать надежды
1.2.
Новая парадигма. Внешнее оправдание
1.3.
Логика нелинейной динамики
ЧАСТЬ I. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия
Язык нелинейной динамики
2.1.
От истории к современности. Взгляд с птичьего полета
2.2.
Простое и сложное поведение
2.3.
Порядок в хаосе
2.4.
Прообразы динамического хаоса - 1. Сдвиг Бернулли
2.5.
Прообразы динамического хаоса - 2. Проблема турбулентности. Лоренц, Рюэль и Такенс
2.6.
Прообразы динамического хаоса - 3. Небесная механика, Пуанкаре и "подкова Смейла"
Динамические системы и их устойчивости
3.1.
Что такое динамическая система?
3.2.
Уравнения движения и отображение
3.3.
Инвариантные множества
3.4.
Простейшие инвариантные множества и их устойчивость
3.5.
Асимптотическое поведение, физический смысли разнообразные устойчивости
Бифуркации неподвижных точек динамических систем
4.1.
Что такое бифуркация?
4.2.
Теорема о центральном многообразии: выделение существенных размерностей для анализа бифуркации
Инвариантная мера динамических систем
5.1.
Откуда приходит случайность?
5.2.
Инвариантная мера и уравнение Перрона-Фробениуса
14.2.
Предикторы и трехслойные нейронные сети
14.3.
Когда сложная динамика может быть предсказуема? Русла и джокеры
14.4.
Как искать русла?
14.5.
Что находится в конце русла?
14.6.
Модельный пример
14.7.
Выводы и гипотезы
Задачи
Список литературы
Предисловие, или игры со сложностью
Игру нельзя отрицать. Можно отрицать почти все абстрактные понятия: право, красоту, истину, добро, дух, Бога. Можно отрицать серьезность. Игру - нельзя.
Й.Хейзинга. Homo Ludens
Эта книга посвящена ключевым концепциям и нескольким новым идеям нелинейной динамики - широко обсуждаемого и используемого междисциплинарного подхода. Естественно было бы в начале книги упомянуть предшествующие работы и перейти к анализу конкретных проблем и теорий. Однако состояние области исследований, все чаще называемой нелинейной наукой, и ее перспективы, на наш взгляд, требуют вначале обратить внимание на некоторые общие вопросы. Это позволит увидеть за отдельными деревьями лес, оценить место обсуждаемых задач в общем контексте, развеять иллюзию ясности, простоты и оптимизма там, где для этого нет оснований.
Легко и приятно писать про новую, молодую научную дисциплину, которая может с легкостью раздавать обещания, делиться надеждами, не задумываться о своих пределах, внутренней логике, принципиальных ограничениях. Именно в таком стиле обычно писали о синергетике - теории самоорганизации - и нелинейной динамике в последние двадцать лет... Однако положение дел меняется.
Нелинейная наука выглядит сейчас как общепризнанная, перспективная, респектабельная область. Регулярно проводятся десятки научных конференций, шпрингеровская серия по синергетике подошла к стотомному рубежу. Портфели журналов "Physica D.Nonlinear Phenomena", "Nonlinearity", "Chaos", "Прикладная нелинейная динамика", "Physical Review E" и других изданий, целиком посвященных нелинейной науке, заполнены научными материалами. "Успехи физических наук", "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Успехи математических наук" и "Журнал вычислительной математики и математической физики", не говоря уже о "Physical Review Letters", "Physics Letters", "Journal of Statistical Physics", охотно публикуют "нелинейные" статьи.
Специалисты по синергетике входят в моду и становятся популярны. Их приглашают журналисты и банкиры, политики и администраторы. Даже в "Парке юрского периода" глубокая мысль о том, что прежде чем что-то сделать, надо хорошенько подумать, вложена в уста специалиста по нелинейной динамике. Главные синергетики регулярно собираются на "рабочие группы" и обсуждают, как выращивать юных синергетиков.
Несмотря на все это, идеи, методы и алгоритмы нелинейной динамики иногда успешно применяются в радиоэлектронике, медицине, биофизике, химических технологиях, психологии и еще в десятках других областей. Можно надеяться, что этот очень полезный для любого междисциплинарного подхода рост "вширь" будет продолжаться еще много лет. Однако рост "вглубь" столкнулся с серьезными трудностями, которые сейчас представляются принципиальными, а не техническими. Посмотрим на них "с птичьего полета", отвлекаясь от множества конкретных деталей.
Новая парадигма. Внешнее оправдание
Прежде чем определить контуры новой парадигмы нелинейной динамики, ее возможные сверхзадачи, место в общенаучном контексте, взглянем на развитие науки в целом.
Прогноз Станислава Лема о замедлении темпов развития науки, об уменьшении ее социальной роли и об оценке ее обществом, сделанный в книге "Сумма технологии", оправдывается. Знание все реже связывают с силой, а науку - с производительной силой, как было еще лет 20 назад. И дело не только в том, что экспоненциальный рост числа ученых и затрат на науку, имевший место в 60-е годы, стабилизировался и вести исследования по всему фронту интересных проблем оказалось невозможно, как и предсказывал Лем. На передний план вышли другие задачи, иной социальный заказ.
Наука стала важной областью технологии после того, как с конца прошлого века на ее основе началось стремительное совершенствование средств защиты и нападения. Радио и компьютеры, самолеты и космические корабли развивались и применялись прежде всего в военном секторе экономики. Однако в большой степени эта задача исчерпала себя, многие высокоэффективные виды оружия снимаются с вооружения и уничтожаются, началась "гонка разоружения". Разумеется, противоборство продолжается, но его научная компонента стала гораздо меньше, чем раньше.
С другой стороны, производство товаров и технологий - другой заказчик науки - тоже изменилось. Ограниченность многих важнейших ресурсов сейчас диктует отказ от многих товаров, услуг, проектов. По-видимому, эта тенденция будет нарастать.
При этом возникли новые сферы научной активности. Это широкий круг проблем, связанный с устойчивостью и безопасностью развития. Глобальные изменения климата, экологической ситуации, техносферы, экономики и других ключевых систем показали неготовность современной науки отвечать на многие кардинальные вопросы. Большинство из них связаны с коллективным поведением и с прогнозом поведения сложных систем в различных условиях. Поэтому нелинейная динамика здесь может сыграть важную роль.
Специализация науки, ее прикладные успехи в XX веке имели ряд побочных последствий. Возникла своеобразная цеховая раздробленность - непонимание и незнание специалистами происходящего даже в смежных областях, отсутствие научной картины мира. Это оказывает сдерживающее влияние на развитие самой науки - многое переоткрывается в соседних областях, а многие проекты выполняются в контексте, смысл которого к моменту окончания работы оказывается утраченным. Отношение к ученым в обществе напоминает взгляд на средневековых ремесленников, нужных для того, чтобы производить разные товары. Научные школы все чаще перенимают дух цеховой замкнутости.
Один из создателей квантовой механики Е.Вигнер полагал, что есть два подхода к научному осмыслению мира, которые предлагаются, соответственно, физикой и психологией, между которыми не может быть переброшен мост. В такой утрате надежды на построение единой самосогласованной научной картины реальности он видел одно из принципиальных ограничений для развития самого научного знания.
Исходя из этого, особенно необходимой становится разработка междисциплинарных подходов. Поэтому нелинейная динамика, связанная с поиском единых механизмов в нелинейных явлениях различной природы, в физических, химических, биологических, социальных системах, выходит на первый план. Единство мира, с точки зрения этого подхода, проявляется в универсальности математических моделей, описывающих реальность, в возможности построить математическое описание данного явления с различной точностью с помощью одного набора "кубиков" - базовых моделей. Поэтому роль нелинейной науки в общенаучном контексте как "языка междисциплинарного общения" может оказаться очень большой.
В настоящее время цивилизация проходит очень крутой поворот. Меняются не только политические, экономические, социальные траектории отдельных стран, этносов, регионов, но и их исторические пути. Решения, которые принимаются сейчас, могут изменить сценарий развития, жизнь людей на много поколений вперед. Поэтому ключевой становится проблема выбора норм, целей, приоритетов, экономических, социальных, политических и иных технологий.
Цена принимаемых решений здесь очень велика. Например, по оценкам экспертов, последний кризис обойдется мировой экономике более чем в триллион долларов. Экономические реформы последних лет в России привели к тому, что страна, занимавшая второе место в мире по валовому внутреннему продукту, оказалась на пятнадцатой позиции.
Диапазон управляющих воздействий здесь также очень широк. Реализуя идею устойчивого и безопасного развития, Швеция отказывается от атомной энергетики. Во Франции, где более 70% электроэнергии вырабатывается на АЭС, форсированное развитие этого сектора экономики, напротив, рассматривается как эффективный способ сохранения окружающей среды.
Возникает принципиальная общая задача построения альтернативных сценариев развития сложных, необратимо развивающихся систем. Эти проблемы тем более актуальны, поскольку приходится выбирать не между хорошим и лучшим, а между плохим и очень плохим вариантом.
Проблема "проектирования будущего", поиска устойчивых и безопасных траекторий развития имеет непосредственное отношение к нелинейной динамике. В самом деле, социально-технологические объекты представляют собой сложные иерархические системы, различные процессы в которых разворачиваются на разных характерных временах. Степень их неустойчивости, их пределы предсказуемости также различны. В экономической системе горизонт прогноза резко уменьшился: если еще 15 лет назад нормой в мире было 5-летнее директивное или индикативное планирование, то сейчас об этом говорить не приходится. В мире становится все больше предложение "быстрых денег" и все меньше предложение "медленных". Но, с другой стороны, устойчивое развитие общества требует медленно меняющихся стратегических целей, шкалы общественных ценностей и норм, культуры и идеологии. Нужна техника, теории, формализм, который позволял бы анализировать возможную динамику таких "разновременных систем" и на этой основе направлять развитие.
Такие исследовательские программы, получившие название теоретической истории или исторической механики, активно обсуждаются в последние годы. История выступает идеальным полигоном для тестирования, совершенствования и верификации таких методик. При этом следует отдавать себе отчет, что многие ситуации, альтернативы, возможные решения, возникающие сейчас, являются стандартными, каноническими, не раз разыгрывавшимися на исторических подмостках. В то время как другие оказываются принципиально новыми, где опираться на исторические аналоги не приходится. Этот круг междисциплинарных, "плохо поставленных проблем", связанных с организацией общества и его перспективами является важнейшим "социальным заказом" и для нелинейной динамики, и для всей современной науки.
Другая сверхзадача связана с проблемой человека или, как сейчас часто говорят, с парадигмой нейронауки. XX век показал, что концепции просветителей, полагавших, что знание, технологии, информация, избавят людей от войн, эксплуатации, многих бед и несчастий, были слишком грубым приближением. Оказалось, что многие "модели человека", предлагавшиеся гуманитарными науками, неприменимы к нынешней реальности. Поэтому здесь также возникла потребность использовать арсенал и методику естественных наук для анализа массового сознания, задач социальной психологии, социологии, анализа и прогнозирования индивидуального и коллективного поведения.
Однако человек оказался загадкой не только с социальной, но и с "технической" точки зрения. В частности, время срабатывания нервной клетки - нейрона - в миллион раз превышает время такта персонального компьютера. Скорость передачи информации в нервной системе также в миллион раз меньше, чем в электронной вычислительной машине. Кроме того, в отличие от элементов компьютера, нейроны нередко "выходят из строя за время службы", поэтому возникает сложная задача перезаписи информации с одних "носителей" на другие. Вместе с тем такая столь "несовершенная" и "ненадежная" система, как наш мозг, с легкостью справляется со многими задачами управления движением, поиска закономерностей, распознавания образов, принятия решений, которые ставят в тупик суперкомпьютеры. Например, ребенок нескольких лет от роду свободно отличает кошку от собаки в жизни, на картинке, по телевизору, хотя конкретного животного, которого ему показывают сейчас, он раньше никогда не видел. Кроме того, он, не затрудняясь, заявляет, если необходимо, что показанное ему ни кошкой, ни собакой не является. Вычислительным машинам это пока недоступно.
Все это говорит о том, что мы в мозге и компьютере, по-видимому, имеем дело с другими принципами восприятия, передачи, обработки, анализа информации. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не об уточнении отдельных деталей или интересных подробностях. Пока мы не располагаем ответами на многие "наивные" вопросы. Каково нейрофизиологическое значение сна в целом и его отдельных стадий в частности? Как кодируется информация в нервной системе? Существует ли здесь единый универсальный "психологический код", по аналогии с "химическим кодом" (одним набором химических элементов, входящим во все вещества) или генетическим кодом (одним набором оснований и аминокислот, используемым всеми живыми организмами)? Какие изменения на нейробиологическом уровне происходят при обучении сложным навыкам?
Работа последних десятилетий по математическому и компьютерному моделированию элементов психики, по анализу механизмов самоорганизации в мозге и в нервной системе показали эффективность междисциплинарного подхода и в этой области. По существу, речь идет о развивавшейся еще в 30-х годах идее гештальта - целостного образа, который возникает на основе небольшого набора данных об объекте (своеобразных параметров порядка) и позволяет домысливать его другие свойства. В основе парадигмы нейронауки лежит предположение, что сложное целесообразное функционирование биологических объектов обусловлено коллективным поведением, взаимодействием простейших функциональных единиц, например, нейронов. Разным типам решаемых задач соответствуют различные алгоритмы самоорганизации (способы установления взаимосвязей между элементами ансамбля, обычно называемого нейронной сетью или нейрокомпьютером). Анализ этих алгоритмов, которые использует природа или которые разумно применять в компьютерных системах (так называемая искусственная психика), представляется одной из наиболее важных и перспективных задач современной науки.
Следует обратить внимание еще на несколько принципиальных трудностей, связанных с анализом организма человека и других биологических систем, где идеи нелинейной динамики также могут сыграть большую роль. На возникшую проблему все чаще стали обращать внимание биофизики и специалисты по математическому моделированию в биологии. Парадоксальные физические идеи и размерностные оценки, сделанные Э.Шредингером в книге "Что такое жизнь с точки зрения физики?", дали мощный начальный толчок биофизическому подходу. Становление "автоколебательной идеологии", в большей степени связанное с Пущинской научной школой, также помогло многое понять в поведении биологических систем. При этом замечательные явления удалось описать и смоделировать, опираясь на поразительно простые, по нынешним меркам, системы двух или трех обыкновенных дифференциальных уравнений.
Многократное усложнение моделей, ставшее возможным благодаря быстрому прогрессу вычислительной техники, дало гораздо более скромные, чем ожидалось, результаты. Зачастую оно не приводило ни к "пониманию явления", ни к "новым качественным результатам", ни к "надежным количественным показателям", близким к тем, которые можно ожидать на основе натурных экспериментов. Да и сам тезис о том, что "современная теоретическая биология - это раздел вычислительной математики", тоже незаметно начал сходить с арены. Обратим внимание на то, что эта ситуация является общей и для детальных моделей колебательных химических реакций, и для "продвинутых" моделей фотосинтеза, и для программ, анализирующих конформацию достаточно сложных молекул, и для многих других объектов. Все чаще вычислительный эксперимент занимает в сотни и в тысячи раз больше времени, чем тот же процесс в реальности.
На наш взгляд, ситуация очень похожа на то положение, в котором находилась метеорология до работы Э.Лоренца, когда неувязки со среднесрочным прогнозом погоды относили к тому, что в лаборатории стоит не последняя, а только предпоследняя модель компьютера, и к тому, что сотрудники недостаточно изобретательны, а аспиранты не слишком трудолюбивы.
Все упомянутые системы обладают отличительной общей чертой, не позволяющей их упрощать, пользуясь стандартными приемами. Они в определенных случаях могут функционировать в режиме гигантских усилителей. Например, при повреждении стенки кровеносного сосуда включается цепь химических реакций, скорости которых на пять порядков превышают характерные скорости для реакций, текущих в норме.
Наличие таких усилителей приводит к ряду очевидных особенностей таких систем.
[-] Весьма высокая избирательность и чувствительность к воздействиям определенного типа. Иначе система просто не могла бы работать, если бы усиливалось слишком много сигналов. Может быть, с этим связаны эффекты сверхмалых концентраций и доз, аномальная чувствительность к изменениям солнечной активности, слабым электромагнитным и звуковым полям в определенных диапазонах.
[-] Принципиальная роль нелинейных эффектов. Любой сигнал, после того как он усилен до значительной величины, должен быть стабилизирован, ограничен, скомпенсирован.
[-] Коллективные эффекты при наличии мощных механизмов положительной обратной связи приводят к тому, что явления, характерные для одного уровня организации материи, могут проявляться на другом. Типичный пример такого поведения - лазер, в котором законы квантовой механики, описывающие "в нормальных условиях" только динамику микрочастиц, определяют макроскопическое поведение.
С точки зрения поиска новых явлений на границе между различными уровнями организации, особый интерес представляет теория сознания, выдвинутая известным математиком и физиком-теоретиком Р.Пенроузом в его последней книге "Тени сознания". В соответствии с этой теорией, в основе сознания лежит невычислимый процесс. Другими словами, не существует алгоритма, логического, детерминированного или вероятностного, с помощью которого можно было бы решать те же задачи, которые приходится иногда решать нашему сознанию.
Несуществование таких алгоритмов для ряда математических задач ранее было доказано. Например, такой задачей является проблема замощения плоскости без пробелов и наложений набором плиток заданной формы. В принципе не может быть построен алгоритм, на вход которого можно было бы подать набор плиток, а на выходе получить ответ, разрешима ли задача замощения для этого набора.
Если бы гигантский компьютер был приемлемой моделью для нашего мира или сознания, то тогда места для невычислимости бы не было. Квантовомеханическое рассмотрение (компьютеры, в которых детерминированным образом меняются не сами состояния, а вероятности найти систему в разных состояниях) не меняет этого вывода.
Чтобы гипотеза невычислимости работала, должны быть парадоксальные, неисследованные явления на границе между разными уровнями организации. Р.Пенроуз видит их на границе, где квантовые свойства объектов меняют классическое макроскопическое поведение. Хрестоматийный пример - классический опыт по дифракции электрона на двух щелях, в результате которого на экране за щелями возникает характерная дифракционная картина. При движении к экрану электрон обладает волновыми свойствами и описывается $\psi $-функцией; сталкиваясь с экраном, он "становится" классической частицей. Происходит редукция, приводящая к "уничтожению" квантовых свойств микрообъекта и появлению классических. Эту редукцию естественно назвать "субъективной", поскольку она связана с процедурой наблюдения, со взаимодействием микрообъекта с макроскопическим прибором.
Р.Пенроуз предположил, что существует и другое явление, которое играет принципиальную роль в феномене сознания и придает невычислимость ряду мыслительных процессов, которое он назвал "объективной редукцией". Такая редукция, по его гипотезе, прерывает "квантовую жизнь" любой системы, даже если никаких измерений не проводится. Она происходит, когда в системе слишком много частиц, либо когда в ней накопилось очень много энергии, либо когда она слишком долго изолирована от среды и живет в так называемом сцепленном состоянии (вновь коллективные эффекты).
Определенное обоснование такого взгляда дают результаты активно развиваемой сейчас нанобиологии. Один из основателей этой области исследований С.Хамерофф обратил внимание на своеобразные вычисления, проводимые в микротрубочках цитоскелета клетки. Эти структуры представляют собой цилиндрические трубочки диа
Закладка в соц.сетях
