страница №1
ЛЕКЦИЯ 2СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ФИЗИКОЙ
Если задуматься о приложениях математики и физики, то совершенно очевидно, что математика будет полезна там, где мы имеем дело с большим числом объектов в сложной обстановке. В биологии, к примеру, действие вируса на бактерию не дает никакой пищи для математики. В микроскоп мы увидим, что проворный маленький вирус находит какое-то место в причудливой бактерии (все они имеют разную форму) и либо вводит в нее свою ДНК, либо не вводит. Но если мы будем экспериментировать с миллионами и миллионами бактерий и вирусов, то сможем очень многое узнать о поведении вирусов в среднем. Мы можем использовать математику для того, чтобы находить среднее, для того, чтобы выяснить, развиваются ли вирусы в бактериях, какие виды развиваются и в каком количестве; подобным образом мы можем изучать генетику, мутации и т.п.
Возьмем другой, более тривиальный пример. Представим себе огромную шахматную доску, на которой играют в шахматы или шашки. Каждый отдельный ход - операция не математическая или математически очень простая. Но нетрудно сообразить, что на доске с множеством фигур оценку наилучших ходов, ходов просто хороших или плохих можно сделать только после очень глубокого размышления, ибо каждый ход таит в себе огромное количество последствий. Тут необходимы абстрактные рассуждения и, следовательно, математика. Еще один пример - переключение в вычислительных машинах. Если у вас всего один переключатель, который может быть либо включен, либо выключен, то ничего особенно математического тут нет, хотя математики любят начинать именно с этого. Но чтобы предугадать поведение системы с множеством соединений и проводов, нужна математика.
Я хочу сказать с самого начала, что математика приносит огромную пользу физике там, где речь идет о деталях сложных явлений, если установлены основные правила игры. И если бы я говорил только о взаимоотношении математики и физики, то большую часть времени отвел бы именно этому вопросу. Но поскольку лекции посвящены характеру физических законов, я не имею возможности подробно разбирать, что происходит в сложных ситуациях, и прямо перейду к своей теме - характеру основных законов.
Если снова обратиться к нашим шахматам, то основные законы здесь - это правила, по которым движутся фигуры. Математику можно использовать в сложной обстановке, чтобы сообразить, какие ходы в данных обстоятельствах наиболее выгодны. Но для того чтобы выразить простую суть основных законов, требуется очень мало математики. В шахматах это можно сделать на нашем обычном языке.
В физике же и для основных законов нам нужна математика. Я приведу два примера: в одном математика, по существу, необязательна, а в другом необходима. Первый - закон физики, называемый законом Фарадея, который гласит. что при электролизе количество осажденного вещества пропорционально силе тока и времени его действия. Иначе говоря, количество осажденного вещества пропорционально заряду, проходящему через систему. Звучит это очень математически, но на самом деле все сводится к тому, что электроны, проходящие по проводам, несут только по одному заряду. В частности, можно предположить, что каждый электрон вызывает осаждение одного атома. Тогда число осажденных атомов равно числу прошедших электронов, т. е. пропорционально заряду, протекшему по проводу. Таким образом, этот закон, который кажется математическим, в основе своей прост и на самом деле не требует знания математики. Для осаждения одного атома нужен один электрон - это, конечно, математика, но не та математика, о которой мы здесь говорим.
Второй пример - это закон тяготения Ньютона, который мы рассматривали в предыдущей лекции. Я привел вам уравнение
F = G(mm' / r 2 )
чтобы поразить вас тем, насколько быстро математические символы могут передавать информацию. Я говорил, что сила пропорциональна произведению масс двух тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, а также что тела реагируют на силы, изменяя свою скорость в направлении действия силы на величину, пропорциональную силе и обратно пропорциональную своим массам. Как вы видите, все это слова, и было совсем не обязательно писать уравнение. Тем не менее здесь есть математика, и мы можем спросить себя, почему такой закон может быть основным законом.
Что делает планета? Неужели она смотрит на Солнце, видит, насколько оно удалено, и вычисляет на своем арифмометре обратный квадрат расстояния, чтобы узнать, как нужно двигаться? Ясно, что это не объяснение механизма гравитации! Вам, может быть, захочется взглянуть поглубже, и многие пытались это сделать. Еще Ньютона спрашивали о его теории: "Но ведь она ничего не говорит, она ничего не объясняет?" Ньютон отвечал: "Она говорит, как движутся тела. Этого должно быть достаточно. Я сказал вам, как они движутся, а не почему ".
Но людей зачастую трудно удовлетворить, не объяснив им механизм, и я расскажу об одной из теорий, которые выдвигались в качестве объяснения гравитации. Согласно этой теории тяготение представляет собой результат многих отдельных воздействий, и этим объясняется, почему закон Ньютона связан с математикой.
Предположим, что мир повсюду полон частиц, пролетающих сквозь нас с очень большой скоростью. Они летят во всех направлениях - просто проносятся мимо, но некоторые из них попадают в нас. Мы и Солнце практически прозрачны для них, практически, но не полностью, и некоторые из них нас ударяют. Посмотрим, к чему это должно привести.
На рис. 12 С - Солнце, 3 - Земля. Если бы Солнца не было, то частицы обстреливали бы Землю со всех сторон, барабанили по ней и каждая упавшая частица немного подталкивала бы Землю. Это не сдвинет Землю ни в каком определенном направлении, потому что с одного боку налетает столько же частиц, сколько с другого, снизу столько же, сколько сверху. Однако если Солнце на месте, то оно в какой-то мере поглощает частицы, летящие с этой стороны, потому что некоторые из них, попадая в Солнце, не проходят его насквозь.
Следовательно, со стороны Солнца к Земле прилетает меньше частиц, чем с других сторон, ибо они наталкиваются на препятствие - на Солнце. Нетрудно понять, что чем дальше Солнце, тем меньшую долю частиц, попадающих на Землю, оно будет задерживать. Солнце будет казаться меньше - как раз пропорционально квадрату расстояния. Поэтому со стороны Солнца на Землю будет действовать импульс, обратно пропорциональный квадрату расстояния. Он будет представлять собой результат большого количества простых операций - ударов, которые один за другим сыплются со всех сторон. Таким образом, в этом математическом соотношении нет ничего странного, ибо основная операция значительно проще, чем подсчет обратного квадрата расстояния. Подсчет производят сами частицы, ударяясь о Землю.
Единственный недостаток этой схемы - в том, что она не годится совсем по другим соображениям. Всякую придуманную теорию надо проанализировать в отношении всех ее возможных последствий, выяснить, не предсказывает ли она другие явления. А эта теория предсказывает другие явления.
Если Земля движется, то спереди в нее будет ударяться больше частиц, чем сзади. (Когда вы бежите под дождем, в лицо вам попадает больше капель, чем на затылок, именно потому, что вы бежите.) Если Земля движется, то она налетает на те частицы, которые находятся перед ней, и убегает от тех, которые догоняют ее сзади. Спереди на нее будет падать больше частиц, чем сзади, и они создадут силу, противодействующую движению. Эта сила замедлила бы движение Земли, и Земля не смогла бы долго продержаться на орбите, - но она ведь держится, уже три или четыре миллиарда лет. Так приходит конец этой теории.
"Что же, - скажете вы, - теория была неплохая, и хоть ненадолго, но позволила мне забыть о математике. Может быть, мне удастся придумать лучшую". Может быть, и удастся - окончательная истина никому еще не известна. Но со времени Ньютона и до наших дней никто не мог описать механизм, скрытый за законом тяготения, не повторив того, что уже сказал Ньютон, не усложнив математики или не предсказав явлений, которых на самом деле не существует. Так что до сих пор у нас нет иной модели для теории гравитации, кроме математической.
Если бы существовал только один закон такого характера. то это было бы интересным, хотя и досадным исключением. Но, оказывается, чем больше мы исследуем, чем больше законов мы открываем, чем глубже проникаем в природу, тем более хронической становится болезнь. Каждый новый ваш закон - чисто математическое утверждение, притом довольно сложное и малопонятное. Ньютонова формулировка закона тяготения - это сравнительно простая математика. Но она становится все менее понятной и все более сложной по мере того, как мы продвигаемся вперед. Почему? Не имею ни малейшего понятия. Моя цель в том и состоит, чтобы лишь сообщить об этом факте. В нем и заключается смысл всей лекции: нельзя честно объяснить все красоты законов природы так, чтобы люди восприняли их одними чувствами, без глубокого понимания математики. Как ни прискорбно, но, по-видимому, это факт.
Вы, возможно, возразите: "Ладно, если нет объяснения законам, то по крайней мере скажите, в чем эти законы состоят. Почему вы не скажете этого словами вместо символов? Математика - просто язык, но ведь можно перевозить с одного языка на другой". Да, можно, если иметь терпение, и, мне кажется, частично я это сделал.
Я мог бы пойти немного дальше и объяснить смысл уравнения более подробно, например сказать, что при увеличении расстояния в два раза сила убывает вчетверо и т.д. Я мог бы передать все символы словами. Иначе говоря, я мог бы пойти навстречу любителям физики, которые сидят и с надеждой ждут от меня простого объяснения. Что касается умения объяснить эти сложные и запутанные предметы неспециалисту на доступном ему языке, то у разных людей - разные возможности. И вот неспециалист перебирает книгу за книгой в надежде обойти трудности, которые появляются рано или поздно даже в работах лучших популяризаторов. Но чем дальше он читает, тем больше путаницы: одно сложное утверждение за другим, одна малопонятная мысль за другой, и все, по-видимому, не связаны друг с другом. Смысл ускользает от него, но он надеется, что где-нибудь в другой книге есть объяснение...
Я в этом сомневаюсь, потому что математика - не просто другой язык. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно утверждение с другим.
Например, я могу сказать, что сила направлена к Солнцу. Но я могу сказать и по-другому (как в прошлой лекции): планета движется так, что если провести от Солнца к планете линию, затем другую линию, отделенную от первой определенным периодом, например тремя неделями, то площадь, которую опишет планета за эти три недели, равна площади, которую она опишет за следующие три недели, и за следующие три недели, и так далее по всей орбите. Я могу объяснить оба эти утверждения подробнее, но не могу объяснить, почему они означают одно и то же. Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых можно объяснить очень подробно, на самом деле тесно связаны. Однако если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому.
Как ни удивительно, но я могу доказать, что если силы направлены к Солнцу, то в равные промежутки времени описываются равные площади. Я попытаюсь доказать, что эти два закона эквивалентны, и тогда вам станут ясными не только формулировки этих двух утверждений. Вы убедитесь, что эти два закона связаны, что путем размышления можно перейти от одного к другому и что математика - это организованные рассуждения. Тогда вы оцените красоту взаимоотношений между этими двумя законами. Итак, докажем, что если сила направлена к Солнцу, то за равное время описываются равные площади.
Рассмотрим Солнце и планету (рис. 13) и вообразим себе, что в определенный момент времени планета находится в положении 1. Она движется так, что через секунду, скажем, очутится в положении 2. Если бы Солнце не действовало на планету, то, согласно галилееву принципу инерции, планета продолжала бы двигаться по прямой. Тогда по истечении такого же промежутка времени, следующей секунды, двигаясь по прямой линии и пройдя такое же расстояние, планета очутилась бы в положении 3. Сначала мы докажем, что в равные промежутки времени описываются равные площади, если силы нет. Напомню, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высота - это расстояние по вертикали от вершины до основания треугольника. Если треугольник - тупоугольный (рис. 14), то высота - AD , а основание - ВС. Теперь сравним площади, которые описывались бы при движении планеты, если бы Солнце на нее не действовало (рис. 13).
Вы помните, что два расстояния 1-2 и 2-3 равны. Вопрос в том, равны ли две площади. Рассмотрим треугольник, образованный Солнцем ( S ) и двумя точками 1 и 2 . Какова его площадь? Она равна основанию 1-2 , умноженному на половину перпендикуляра, опущенного на основание из точки S . Теперь - другой треугольник, образованный точками 2, 3 и S. Его площадь равна основанию 2-3 , умноженному на половину перпендикуляра, опущенного из точки S. У этих двух треугольников одна и та же высота и, как я уже сказал, равные основания. Поэтому они имеют одинаковую площадь. Пока все идет прекрасно. Если бы со стороны Солнца не действовало никаких сил, то за равные промежутки времени описывались бы равные площади. Но Солнце действует на планету. На отрезке 1-2-3 Солнце притягивает планету, причем направление силы притяжения постепенно меняется. Чтобы получить хорошее приближение, возьмем среднее положение 2 и скажем, что весь эффект притяжения на отрезке 1-3 сводится к отклонению планеты на некоторое расстояние в направлении линии 2- S (рис. 15).
Это означает, что тело двигалось по линии 1-2 и продолжало бы двигаться по ней, если бы не было силы, но притяжение Солнца заставляет тело двигаться по линии 2-S. Таким образом, движение тела на следующем отрезке складывается из того, как планета двигалась бы самостоятельно, и изменения, которое произошло под действием Солнца. Поэтому планета попадает не в положение 3, а в положение 4.
Теперь мы сравним площади треугольников 23S и 24S и докажем, что они равны. У них общее основание S-2. Одинаковы ли у них высоты? Да, потому что треугольники заключены между параллельными линиями. Расстояние от точки 4 до линии 5-2 равно расстоянию от точки 3 до линии 5-2 (продолженной). Значит, площадь у треугольника S24 такая же, как у S23. Раньше я доказал, что треугольники S12 и S23 равны по площади. Отсюда ясно, что S12=S24. Таким образом, при движении планеты по орбите площади, описываемые за первую и за вторую секунду, равны. Значит, путем рассуждений мы нашли связь между тем фактом, что сила направлена к Солнцу, и тем фактом, что площади равны. Не правда ли, остроумно? Я позаимствовал вывод прямо у Ньютона. Все это содержится в его "Principia": и схема, и доказательство. Только цифры другие, потому что он пользовался римскими цифрами, а я - арабскими.
Все доказательства в книге Ньютона были геометрическими. Сегодня мы строим доказательства по-другому. Мы доказываем аналитически, при помощи символов. Чтобы построить нужные треугольники, подметить равенство площадей, требуется изобретательность. Теперь мы имеем усовершенствованные методы анализа, более быстрые и эффективные. Я хочу показать вам, как это выглядит в обозначениях более современной математики, где для доказательства нужно лишь записать несколько символов.
Мы будем говорить о быстроте изменения площади и обозначим эту величину через А'. При повороте радиуса площадь изменяется, и быстрота ее изменения - это составляющая скорости, перпендикулярная радиусу, умноженная на радиус. Иначе говоря, это расстояние по радиусу, умноженное на скорость, т. е. на быстроту изменения расстояния: A = r x r' Спросим себя: изменяется ли сама скорость изменения площади? Закон Кеплера говорит, что скорость изменения площади не должна меняться. Поэтому мы дифференцируем написанное равенство, а тут весь фокус в том, чтобы поставить точки в нужных местах - и ничего больше. Таким фокусам надо научиться: это просто набор правил, которые были придуманы, чтобы облегчить доказательства. Мы пишем
A'' = r' x r' + r x r'' = r x F/m.
Первое слагаемое - это составляющая скорости, перпендикулярная самой скорости. Оно равно нулю - скорость направлена вдоль самой себя. Ускорение r'' - это вторая производная r , т. е. производная скорости. Она равна силе, деленной на массу.
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади есть составляющая силы, направленная под прямым углом к радиусу. Но если сила направлена по радиусу,
r x F / m = 0
как утверждал Ньютон, то под прямым углом к радиусу она не действует, а значит, скорость изменения площади не изменяется: A'' = 0.
Мы видим, как много нам дает анализ при помощи символов. Ньютон более или менее умел это делать, только в несколько других обозначениях. Но он предпочел геометрические доказательства, стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи. Он сам изобрел исчисление бесконечно малых, которым я воспользовался во втором доказательстве.
Это хорошая иллюстрация взаимоотношений между математикой и физикой. Когда в физике проблема оказывается трудной, мы можем заглянуть к математикам - вдруг они уже встречались с такими вопросами и имеют готовые способы доказательства? Но может оказаться, что они этим еще не занимались. Тогда нам придется самим изобрести доказательства и потом передать их математикам.
Каждый кто рассуждает о чем-нибудь точно, показывает тем самым, как человек мыслит, и если представить его рассуждения в общем виде и передать математикам, то они внесут его в свои книги в качестве раздела математики. Математика - это путь, по которому мы переходим от одной совокупности утверждений к другой. И она, очевидно, полезна в физике, потому что говорить о вещах мы можем по-разному, а математика позволяет нам выяснить следствия, анализировать ситуации и видоизменять законы, чтобы связать различные утверждения. В общем физик знает очень мало. Он только должен помнить правила, которые позволяют переходить от одного к другому, ибо все эти различные утверждения о равенстве интервалов времени, о силе, направленной по радиусу, и т. д. тесно связаны логикой.